Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 43 стр.

§ 3.   Дробно–линейные преобразования                                      45

Это равенство можно переписать в эквивалентной форме

         (ac − ca)|z|2 + (ad − cb)z + (bc − da)z + (bd − db) = 0.          (3)

    Если ac − ca = 0, то уравнение (3) определяет в комплексной
плоскости прямую, т. е. окружность в C.
    Допустим теперь, что ac − ca 6= 0. Тогда уравнение (3) перепи-
сывается в эквивалентном виде

                         ad − bc    bc − ad    bd − bd
                |z|2 +           z+         z+         =0
                         ac − ca    ac − ca    ac − ca
или после выделения полного квадрата модуля в виде
                          ¯               ¯    ¯         ¯
                          ¯
                          ¯
                          ¯z
                                 bc − ad ¯¯¯ ¯¯ ad − bc ¯¯
                          ¯    +           ¯= ¯          ¯,
                          ¯      ac − ca ¯ ¯ ac − ca ¯
что определяет окружность.                                             2

Предложение 2. Ангармоническое отношение (z1 , z2 , z3 , z4 ) вещест-
венно в том и только в том случае, если точки z1 , z2 , z3 , z4 лежат
на одной окружности в C.

Доказательство. Утверждение следует из предыдущего резуль-
тата, примененного к дробно–линейному преобразованию T (z) =
(z1 , z2 , z3 , z4 ).                              2

Теорема 3. При дробно–линейных преобразованиях окружности в C
переходят в окружности в C.

Доказательство. Пусть L — произвольное дробно-линейное пре-
образование и C — окружность в z-плоскости. Выберем на ней три
различные точки z1 , z2 , z3 . В силу инвариантности ангармонического
отношения

                (z, z1 , z2 , z3 ) ≡ (L(z), L(z1 ), L(z2 ), L(z3 )).

В силу предложения 2 левая часть последнего тождества вещественна
в том и только в том случае, когда z ∈ C. Применение предложения 2