Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 41 стр.

§ 3.   Дробно–линейные преобразования                             43

также является дробно–линейным преобразованием. Следовательно,
совокупность всех дробно–линейных преобразований образует груп-
пу относительно операции композиции. Следует отметить, что это
некоммутативная группа.
Ангармоническое отношение. Установим вначале результат, со-
гласно которому соответствие трех точек вполне определяет дробно–
линейное отображение.

Теорема 1. Пусть z1 , z2 , z3 — различные точки в C. Тогда сущест-
вует и единственно дробно–линейное преобразование T , которое пе-
реводит эти точки соответственно в 1, 0 и ∞.

Доказательство. В случае конечных точек z1 , z2 и z3 это отображе-
ние можно предъявить формулой:
                                       ,
                              z − z2        z1 − z2
                      T (z) =                       .
                              z − z3        z1 − z3
В случае когда одна из этих точек бесконечно удаленная, требуемое
отображение задается одной из формул:
                        
                        
                           z − z2
                        
                        
                                     при     z1 = ∞,
                        
                        
                        
                        
                            z − z3
                           z1 − z3
                   T =               при     z2 = ∞,
                        
                        
                           z − z3
                        
                        
                        
                        
                            z − z2
                        
                                     при     z3 = ∞,
                            z1 − z3
которые получаются соответствующими предельными переходами.
    Докажем теперь единственность этого отображения. Действи-
тельно, пусть S — дробно–линейное преобразование с теми же свойст-
вами. Тогда дробно–линейное преобразование L = S ◦ T −1 оставляет
неподвижными точки 1,0 и ∞. Из условия L(∞) = ∞ следует, что
L(z) = az + b. Используя теперь условия L(0) = 0 и L(1) = 1, прихо-
дим к тождеству L(z) = z. Отсюда сразу же следует, что S(z) = T (z).
                                                         2

Следствие. Для любых различных трех точек z1 , z2 , z3 в z-плоскости
и различных трех точек w1 , w2 , w3 в w-плоскости существует и един-
ственно дробно-линейное преобразование L, такое что L(zk ) = wk , k =