Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§3. Дробно–линейные преобразования 41
не зависит от arg z
0
(t
0
). Это эквивалентно тому, что правая часть (3)
имеет постоянный аргумент. Однако при полном изменении arg z
0
(t
0
)
правая часть равенства (3) описывает окружность с центром в точке
1
2
[∂f/∂x−i∂f/∂y] и радиусом
1
2
[∂f/∂x+i∂f/∂y]. Таким образом, кон-
серватизм углов влечет равенство нулю радиуса этой окружности,
что выражается в виде
∂f
∂x
= −i
∂f
∂y
.
Это, как мы видели ранее, и есть уравнения Коши–Римана, записан-
ные в комплексной форме.
Аналогично постоянство искажения линейного элемента приво-
дит к условию независимости модуля правой части (3) от arg z
0
(t
0
).
Это возможно лишь при условии вырождения окружности, которую
описывает правая часть (3), либо условии попадания ее центра в нача-
ло координат. Следствием первого условия, как мы только что пока-
зали, является система уравнений Коши–Римана, т. е. аналитичность
функции f. Второе условие эквивалентно равенству
∂f
∂x
= i
∂f
∂y
.
Это равенство выражает тот факт, что f(z) является аналитической
функцией. В этом случае углы сохраняются по величине, но меняется
их направление. Такое свойство называется антиконформностью.
Отображение, осуществляемое аналитической однолистной в об-
ласти D функцией f, называют конформным отображением этой
области. Отображение, осуществляемое функцией f, называют ан-
тиконформным отображением области D.
§3. Дробно–линейные преобразования
Общие свойства. Среди всех аналитических функций наиболее
простые отображающие свойства имеют рациональные функции 1-
го порядка. Они обладают многочисленными замечательными свой-
ствами, которые выводят их далеко за рамки элементарной теории.
Кроме того, свободное владение их свойствами составляют основу
достаточно эффективной вычислительной техники.
§ 3.   Дробно–линейные преобразования                                 41

не зависит от arg z 0 (t0 ). Это эквивалентно тому, что правая часть (3)
имеет постоянный аргумент. Однако при полном изменении arg z 0 (t0 )
правая часть равенства (3) описывает окружность с центром в точке
1                                  1
2 [∂f /∂x − i∂f /∂y] и радиусом 2 [∂f /∂x + i∂f /∂y]. Таким образом, кон-
серватизм углов влечет равенство нулю радиуса этой окружности,
что выражается в виде
                                 ∂f      ∂f
                                     = −i .
                                  ∂x     ∂y
Это, как мы видели ранее, и есть уравнения Коши–Римана, записан-
ные в комплексной форме.
    Аналогично постоянство искажения линейного элемента приво-
дит к условию независимости модуля правой части (3) от arg z 0 (t0 ).
Это возможно лишь при условии вырождения окружности, которую
описывает правая часть (3), либо условии попадания ее центра в нача-
ло координат. Следствием первого условия, как мы только что пока-
зали, является система уравнений Коши–Римана, т. е. аналитичность
функции f . Второе условие эквивалентно равенству

                               ∂f   ∂f
                                  =i .
                               ∂x   ∂y

Это равенство выражает тот факт, что f (z) является аналитической
функцией. В этом случае углы сохраняются по величине, но меняется
их направление. Такое свойство называется антиконформностью.
    Отображение, осуществляемое аналитической однолистной в об-
ласти D функцией f , называют конформным отображением этой
области. Отображение, осуществляемое функцией f , называют ан-
тиконформным отображением области D.

§ 3.   Дробно–линейные преобразования

Общие свойства. Среди всех аналитических функций наиболее
простые отображающие свойства имеют рациональные функции 1-
го порядка. Они обладают многочисленными замечательными свой-
ствами, которые выводят их далеко за рамки элементарной теории.
Кроме того, свободное владение их свойствами составляют основу
достаточно эффективной вычислительной техники.

Страницы