Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§2. Конформность 39
Заметим, что у гладкой кривой γ : z = z(t), α ≤ t ≤ β, в каждой
точке z(t) существует касательная с направлением arg z
0
(t). Очевид-
но, что ориентация кривой индуцирует ориентацию касательной. Под
кусочно–гладкой кривой будем понимать конечную сумму гладких
кривых.
Пусть теперь w = f(z) — аналитическая в области D функция.
Будем говорить, что f однолистна в D, если f(z
1
) = f(z
2
), влечет
z
1
= z
2
для любой пары точек из D. Допустим теперь, что f
0
(z) 6= 0 в
D. Поскольку | f
0
(z
0
)|
2
— якобиан отображения w = f(z) в точке z
0
, то
в силу теоремы о неявных функциях в окрестности точки w
0
= f(z
0
)
существует обратная функция z = f
−1
(w). Очевидно, что она также
будет аналитической и
³
f
−1
´
0
(w) = lim
∆w→0
∆z
∆w
= lim
∆z→0
1
∆w/∆z
=
1
f
0
(z)
.
Таким образом, аналитическая в области D функция с необращаю-
щейся в нуль производной является локально однолистной. Из ло-
кальной однолистности не следует еще глобальная (т. е. во всей об-
ласти D). Примером этому может служить функция f(z) = z
2
, рас-
сматриваемая в кольце 1 < |z| < 2.
Рассмотрим гладкую кривую γ : z = z(t), α ≤ t ≤ β, располо-
женную в области D. Тогда уравнение w = f(z(t)) будет определять
некоторую гладкую кривую γ
∗
в w-плоскости. Действительно, из ра-
венства
w
0
(t) = f
0
(z(t)) · z
0
(t) (1)
и условий на γ и f следует, что w
0
(t) 6= 0. Кроме того, из равенства (1)
следует, что направление касательной к кривой γ
∗
в точке w
0
= w(t
0
)
связано с направлением касательной к кривой γ в точке z
0
= z(t
0
)
равенством:
arg w
0
(t
0
) = arg f
0
(z
0
) + arg z
0
(t
0
). (2)
Равенство (2) выясняет геометрический смысл аргумента производ-
ной и показывает, что угол между направлениями касательных к
кривым γ и γ
∗
в соответствующих точках z
0
и w
0
равен arg f
0
(z
0
).
Следовательно, этот угол не зависит от выбора кривой γ, а кривые,
проходящие через точку z
0
и имеющие в ней общую касательную,
переходят посредством f в кривые, проходящие через точку w
0
и
§ 2.   Конформность                                                   39

     Заметим, что у гладкой кривой γ : z = z(t), α ≤ t ≤ β, в каждой
точке z(t) существует касательная с направлением arg z 0 (t). Очевид-
но, что ориентация кривой индуцирует ориентацию касательной. Под
кусочно–гладкой кривой будем понимать конечную сумму гладких
кривых.
     Пусть теперь w = f (z) — аналитическая в области D функция.
Будем говорить, что f однолистна в D, если f (z1 ) = f (z2 ), влечет
z1 = z2 для любой пары точек из D. Допустим теперь, что f 0 (z) 6= 0 в
D. Поскольку |f 0 (z0 )|2 — якобиан отображения w = f (z) в точке z0 , то
в силу теоремы о неявных функциях в окрестности точки w0 = f (z0 )
существует обратная функция z = f −1 (w). Очевидно, что она также
будет аналитической и
            ³      ´
                 −1 0             ∆z         1      1
             f          (w) = lim    = lim       = 0 .
                             ∆w→0 ∆w  ∆z→0 ∆w/∆z  f (z)
Таким образом, аналитическая в области D функция с необращаю-
щейся в нуль производной является локально однолистной. Из ло-
кальной однолистности не следует еще глобальная (т. е. во всей об-
ласти D). Примером этому может служить функция f (z) = z 2 , рас-
сматриваемая в кольце 1 < |z| < 2.
    Рассмотрим гладкую кривую γ : z = z(t), α ≤ t ≤ β, располо-
женную в области D. Тогда уравнение w = f (z(t)) будет определять
некоторую гладкую кривую γ ∗ в w-плоскости. Действительно, из ра-
венства
                       w0 (t) = f 0 (z(t)) · z 0 (t)           (1)
и условий на γ и f следует, что w0 (t) 6= 0. Кроме того, из равенства (1)
следует, что направление касательной к кривой γ ∗ в точке w0 = w(t0 )
связано с направлением касательной к кривой γ в точке z0 = z(t0 )
равенством:
                   arg w0 (t0 ) = arg f 0 (z0 ) + arg z 0 (t0 ).      (2)
Равенство (2) выясняет геометрический смысл аргумента производ-
ной и показывает, что угол между направлениями касательных к
кривым γ и γ ∗ в соответствующих точках z0 и w0 равен arg f 0 (z0 ).
Следовательно, этот угол не зависит от выбора кривой γ, а кривые,
проходящие через точку z0 и имеющие в ней общую касательную,
переходят посредством f в кривые, проходящие через точку w0 и

Страницы