Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 35 стр.

§ 2.   Конформность                                                   37

§ 2.   Конформность

    В этом параграфе мы рассмотрим геометрические следствия ана-
литичности. Как отмечалось ранее, мы не можем получить наглядно-
го представления о функции комплексного переменного посредством
графика. Этот недостаток можно компенсировать наблюдением за об-
разами семейств кривых.
    Уточним вначале понятийный аппарат, связанный с кривыми.
В аналитической геометрии под кривой обычно понимают множест-
во точек, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению
либо задаются параметрическим способом. Для наших целей ближе
второе представление, которое позволяет интерпретировать кривую
как траекторию движущейся точки. Кроме того, в наших рассмот-
рениях будет несущественной скорость прохождения траектории, но
будет важным направление и кратность прохождения участков тра-
ектории. Перейдем теперь к точным определениям и формулировкам.
Определение. Путем мы будем называть непрерывное отображе-
ние z = z(t) отрезка [α, β] ⊂ R в C (или C). Точки z(α) = a и z(β) = b
называются началом и концом пути, соответственно. Путь назы-
вается замкнутым, если a = b.
     Понятие пути является исходным. Понятие кривой связано с
тем, что мы будем не различать некоторые пути. Будем говорить,
что пути z = z1 (t), α1 ≤ t ≤ β1 , и z = z2 (t), α2 ≤ t ≤ β2 ,
эквивалентны, если существует непрерывная возрастающая функ-
ция τ = τ (t), α1 ≤ t ≤ α2 , такая, что τ (α1 ) = α2 , τ (β1 ) = β2
и z1 (t) = z2 (τ (t)) при t ∈ [α1 , β1 ]. Легко видеть, что введенное по-
нятие эквивалентности путей обладает свойствами рефлексивности,
симметрии и транзитивности. Следовательно, все множество путей
распадается на непересекающиеся классы эквивалентности.
Определение. Кривой γ называется класс эквивалентных путей.
Представитель z = z(t), α ≤ β, из класса эквивалентности будем
называть параметризацией кривой γ.
    Заметим, что все пути, которые представляют одну и ту же кри-
вую γ, имеют общие начало и конец. Кроме того, всегда можно в ка-
честве параметризующего отрезка выбрать [0, 1]. Итак, начало, конец