Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 33 стр.

§ 1.   Топология комплексной плоскости                          35

одному из множеств: G1 или G2 . Пусть для определенности a ∈ G1 . В
  T
E G2 выберем произвольную точку b. По определению E, найдется
такое α0 ∈ A, что b ∈ Eα0 . Но тогда для Eα0 и множеств G1 и G2 вы-
полнены все условия (i)–(iii), что противоречит связности множества
Eα0 .                                                     2
    В ряде случаев приходится иметь дело с множествами произволь-
ной структуры. При их анализе первой ступенькой является разложе-
ние его на компоненты связности. Компонентой K множества E бу-
дем называть связное подмножество, которое не является собст-
венным подмножеством никакой другой связной части множества
E.

Теорема 4. Каждое множество единственным образом может
быть представлено как объединение своих компонент.

Доказательство. Пусть E — произвольное множество. Для каждой
точки a ∈ E через C(a) обозначим объединение всех связных подмно-
жеств в E, содержащих a. В силу предыдущей теоремы C(a) связно,
а непосредственно из определения следует ее максимальность. Таким
образом, C(a) — компонента множества E. Для завершения доказа-
тельства остается показать, что две компоненты C(a) и C(b) либо
совпадают, либо не пересекаются.
                    T
    Пусть d ∈ C(a) C(b). Тогда из определения C(d) следует, что
C(a) ⊆ C(d). Отсюда получаем: a ∈ C(d) и в силу определения C(a)
имеем включение C(d) ⊆ C(a). Таким образом, C(a) = C(d). Анало-
гично устанавливается равенство C(b) = C(d).            2

Определение. Область D ⊆ C называется односвязной, если C \ D
связно.

    Другими словами, область D называется односвязной, если ее
дополнение C \ D состоит из одной компоненты. Следует отметить,
что здесь важно условие пополненной комплексной плоскости. На это
указывает пример полосы.

Теорема 5. При непрерывных отображениях образ связного мно-
жества является связным.