Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

34 Глава II . Аналитические функции как отображения
Замечание. Мы можем теперь усилить теорему 2 из параграфа 3
предыдущей главы, заменив круг |a −z| < r на произвольную область.
Следующий результат дает характеристическое свойство облас-
ти в других терминах.
Теорема 2. Непустое открытое множество E связно в том и
только в том случае, если любые две ее точки можно соединить
ломаной, расположенной в E. При этом ломаную можно выбрать
так, чтобы ее звенья были параллельны координатным осям.
Доказательство. Пусть E связно и a ∈ E — произвольная точ-
ка. Обозначим через G
1
множество тех точек из E, которые можно
соединить в E с точкой a ломаной со звеньями , параллельными ко-
ординатным осям . Через G
2
обозначим те точки из E, которые не
удовлетворяют этому условию. Очевидно, что G
1
и G
2
являются от-
крытыми множествами и E = G
1
S
G
2
. В силу связности E одно из
множеств, G
1
или G
2
, должно быть пустым. Легко видеть также, что
G
1
6= ∅ , и в одну сторону утверждение доказано.
Обратно, пусть E — открытое множество и любые две ее точки
можно соединить ломаной, расположенной в E. Тогда связность E
легко устанавливается рассуждением от противного. Действительно,
если G
1
и G
2
— два открытых непустых непересекающихся множес-
тва и E = G
1
S
G
2
, то для точек a ∈ G
1
, b ∈ G
2
найдется ломаная,
соединяющая их и расположенная в E. На этой ломаной найдется от-
резок, концы которого расположены в разных множествах G
1
и G
2
.
Но это будет противоречить связности этого отрезка.
2
Следующий результат позволяет конструировать связные мно-
жества и сравнительно просто определять связность в ряде случаев.
Теорема 3. Пусть {E
α
}
α∈A
— совокупность (семейство) связных
множеств и
T
α
E
α
6= ∅ . Тогда E =
S
α
E
α
— связное множество.
Доказательство. Допустим противное, т. е. найдутся такие откры-
тые множества G
1
и G
2
, что для E =
S
E
α
выполнены условия (i)–(iii).
Выберем произвольную точку a из
T
E
α
. В силу (i) она принадлежит
34           Глава II .   Аналитические функции как отображения

Замечание. Мы можем теперь усилить теорему 2 из параграфа 3
предыдущей главы, заменив круг |a−z| < r на произвольную область.

    Следующий результат дает характеристическое свойство облас-
ти в других терминах.

Теорема 2. Непустое открытое множество E связно в том и
только в том случае, если любые две ее точки можно соединить
ломаной, расположенной в E. При этом ломаную можно выбрать
так, чтобы ее звенья были параллельны координатным осям.

Доказательство. Пусть E связно и a ∈ E — произвольная точ-
ка. Обозначим через G1 множество тех точек из E, которые можно
соединить в E с точкой a ломаной со звеньями, параллельными ко-
ординатным осям. Через G2 обозначим те точки из E, которые не
удовлетворяют этому условию. Очевидно, что G1 и G2 являются от-
                                  S
крытыми множествами и E = G1 G2 . В силу связности E одно из
множеств, G1 или G2 , должно быть пустым. Легко видеть также, что
G1 6= ∅, и в одну сторону утверждение доказано.
     Обратно, пусть E — открытое множество и любые две ее точки
можно соединить ломаной, расположенной в E. Тогда связность E
легко устанавливается рассуждением от противного. Действительно,
если G1 и G2 — два открытых непустых непересекающихся множес-
                S
тва и E = G1 G2 , то для точек a ∈ G1 , b ∈ G2 найдется ломаная,
соединяющая их и расположенная в E. На этой ломаной найдется от-
резок, концы которого расположены в разных множествах G1 и G2 .
Но это будет противоречить связности этого отрезка.
                                                       2
    Следующий результат позволяет конструировать связные мно-
жества и сравнительно просто определять связность в ряде случаев.

Теорема 3. Пусть {Eα }α∈A — совокупность (семейство) связных
           T                   S
множеств и α Eα 6= ∅. Тогда E = α Eα — связное множество.

Доказательство. Допустим противное, т. е. найдутся такие откры-
                                    S
тые множества G1 и G2 , что для E = Eα выполнены условия (i)–(iii).
                                   T
Выберем произвольную точку a из Eα . В силу (i) она принадлежит

Страницы