Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 30 стр.

32           Глава II .   Аналитические функции как отображения

    Множество E называется открытым, если каждая его точка яв-
ляется внутренней, т.е. E = Int E. Совокупность открытых множеств
определяет топологию.
    Дополнительные к открытым множества называются замкнуты-
ми. Их можно определить посредством операции замыкания. Точка
a ∈ C называется предельной для множества E, если ее всякая ε-
окрестность O(a, ε) содержит бесконечно много точек из E. Операция
замыкания состоит в присоединении к E всех его предельных точек, а
ее результат обозначается E. Множество E замкнуто в том и только
в том случае, если E = E. Заметим, что ∂E = E \ Int E.
    Фундаментальными свойствами открытых и замкнутых мно-
жеств являются следующие.
    Объединение любого числа и пересечение конечного числа откры-
тых множеств является открытым множеством. Пересечение любого
числа и объединение конечного числа замкнутых множеств является
замкнутым множеством. Пустое множество и вся расширенная комп-
лексная плоскость являются одновременно открытыми и замкнутыми
множествами.
    Как известно из вещественного анализа (C можно рассматривать
      2
как R ), всякое ограниченное замкнутое множество E ⊂ C являет-
ся компактным. Свойство компактности выражается в двух фунда-
ментальных результатах: лемме Гейне–Бореля и принципе Больцано–
Вейерштрасса. Согласно первому, из всякого открытого покрытия
компактного множества можно выбрать конечное подпокрытие.
Согласно второму, всякое бесконечное подмножество компактного
множества имеет хотя бы одну предельную точку.
    В расширенной комплексной плоскости C всякое замкнутое мно-
жество является компактным.
    Обычно в вещественном анализе (и в курсе топологии) доказы-
вается инвариантность компактности при непрерывных отображе-
ниях. Хорошо известны также свойства непрерывных вещественно-
значных функций, определенных на компакте. В частности, каждая
такая функция является равномерно непрерывной и достигает своего
максимума и минимума.
    Остановимся более подробно на топологическом понятии ”связ-
ность”.