Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§1. Топология комплексной плоскости 33
Определение. Множество E ⊆ C называется связным, если не су-
ществует двух открытых множеств G
1
и G
2
, удовлетворяющих
условиям:
(i) E ⊆ G
1
S
G
2
;
(ii) E
T
G
1
T
G
2
= ∅
(iii) G
1
T
E 6= ∅, G
2
T
E 6= ∅.
Интуитивно связность означает, что E состоит из одного ”куска”.
Теорема 1. Отрезок прямой — связное множество. При этом до-
пускается, чтобы один из концов отрезка был бесконечно удаленной
точкой, а сам отрезок был открытым, замкнутым или полуоткры-
тым.
Доказательство. Допустим противное, т. е. найдутся два откры-
тых множества G
1
и G
2
, для которых выполнены условия (i)–(iii), где
E — наш отрезок. Тогда на E найдутся две конечные точки a ∈ G
1
и b ∈ G
2
. Очевидно, что условия (i)–(iii) также выполняются при за-
мене E на подынтервал E
1
= [a, b]. Разобьем E
1
пополам и выберем
ту его часть E
2
, которая представляет собой интервал с концами в
разных множествах G
1
и G
2
. Продолжая этот процесс, получим после-
довательность замкнутых вложенных отрезков E
1
⊃ E
2
⊃ . . . длины
которых стремятся к нулю. По теореме Кантора, существует един-
ственная точка ξ, принадлежащая всем отрезкам последовательности
{E
n
}. Из условий (i), (ii) следует, что ξ принадлежит одному из мно-
жеств G
1
или G
2
. Пусть это для определенности будет G
1
. В силу
открытости G
1
и стремления длин E
n
к нулю следует, что E
n
⊂ G
1
при достаточно больших номерах n. Однако это противоречит усло-
виям выбора E
n
.
2
Определение. Непустое связное открытое множество называет-
ся областью.
Приведенное выше определение связности в случае открытого
множества E означает, что не существует непустых непересекающих-
ся открытых множеств G
1
и G
2
.
§ 1.   Топология комплексной плоскости                            33

Определение. Множество E ⊆ C называется связным, если не су-
ществует двух открытых множеств G1 и G2 , удовлетворяющих
условиям:
            S
 (i) E ⊆ G1 G2 ;
       T    T
(ii) E G1 G2 = ∅
        T          T
(iii) G1 E 6= ∅, G2 E 6= ∅.

Интуитивно связность означает, что E состоит из одного ”куска”.

Теорема 1. Отрезок прямой — связное множество. При этом до-
пускается, чтобы один из концов отрезка был бесконечно удаленной
точкой, а сам отрезок был открытым, замкнутым или полуоткры-
тым.

Доказательство. Допустим противное, т. е. найдутся два откры-
тых множества G1 и G2 , для которых выполнены условия (i)–(iii), где
E — наш отрезок. Тогда на E найдутся две конечные точки a ∈ G1
и b ∈ G2 . Очевидно, что условия (i)–(iii) также выполняются при за-
мене E на подынтервал E1 = [a, b]. Разобьем E1 пополам и выберем
ту его часть E2 , которая представляет собой интервал с концами в
разных множествах G1 и G2 . Продолжая этот процесс, получим после-
довательность замкнутых вложенных отрезков E1 ⊃ E2 ⊃ . . . длины
которых стремятся к нулю. По теореме Кантора, существует един-
ственная точка ξ, принадлежащая всем отрезкам последовательности
{En }. Из условий (i), (ii) следует, что ξ принадлежит одному из мно-
жеств G1 или G2 . Пусть это для определенности будет G1 . В силу
открытости G1 и стремления длин En к нулю следует, что En ⊂ G1
при достаточно больших номерах n. Однако это противоречит усло-
виям выбора En .
                                                           2

Определение. Непустое связное открытое множество называет-
ся областью.
    Приведенное выше определение связности в случае открытого
множества E означает, что не существует непустых непересекающих-
ся открытых множеств G1 и G2 .

Страницы