Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 29 стр.

Глава II

Аналитические функции как
отображения

§ 1.   Топология комплексной плоскости

    Здесь мы рассмотрим некоторые свойства множеств комплекс-
ной плоскости (или расширенной комплексной плоскости), которые
инвариантны относительно непрерывных отображений.
    Пусть ε > 0 — произвольное число. Под ε-окрестностью точки
a ∈ C будем понимать круг
                 Oε (a) = O(a, ε) = {z ∈ C : |z − a| < ε},
если a 6= ∞, и                   (                )
                                             1
                     O(∞, ε) = z ∈ C : |z| >   .
                                             ε
     С каждым множеством E ⊆ C можно связать разбиение C на три
непересекающихся множества.
     Точка a ∈ E называется внутренней, если она принадлежит E
вместе с каждой своей ε-окрестностью. Совокупность всех внутрен-
них точек называется внутренностью множества E и обозначается
Int E.
     Внешностью множества E называется внутренность его допол-
нения C \ E и обозначается Ext E.
     Множество точек C, не принадлежащих ни внутренности, ни
внешности множества E называется границей множества E и обо-
значается ∂E. Очевидно, что a ∈ ∂E в том и только в том случае,
если всякая ее ε-окрестность содержит одновременно как точки мно-
жества E, так и точки ее дополнения.
                                     31