Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 27 стр.

§ 5.   Экспонента и тригонометрические функции                 29

Первое уравнение имеет единственное решение:

                               x = ln |w|,

где справа стоит вещественный логарифм положительного числа.
Второе уравнение имеет бесконечно много решений, отличающих-
ся друг от друга на число, кратное 2πi. Таким образом, каждое
комплексное число, отличное от нуля, имеет бесконечно много ло-
гарифмов, отличающихся друг от друга на слагаемое, кратное 2π.
Мнимая часть ln w называется также аргументом числа w и обозна-
чается arg w. Геометрически он выражает угол между положитель-
ным направлением вещественной оси и лучом (0, w). Согласно этому
определению аргумент имеет бесконечно много значений и

                         ln w = ln |w| + i arg w.

Если обозначить |z| = r и arg z = θ, то мы придем к очень распро-
страненной записи комплексного числа:

                                z = reiθ .

Из теоремы сложения для экспоненциальной функции следует также,
что
                 ln(z1 z2 ) = ln z1 + ln z2 (mod 2πi),

                  arg(z1 z2 ) = arg z1 + arg z2 (mod 2π).

       Используя логарифм, можно ввести понятие комплексной степе-
ни:
                            ab = exp(b ln a),
если a 6= 0. Как и логарифм, ab имеет, вообще говоря, бесконечно
много значений, отличающихся множителями e2πinb .
    Рассмотрим теперь область D = C \ R− . Фиксируя для каждой
точки z ∈ D одно значение ln z, мы получим однозначную функцию,
которая называется ветвью логарифма. Среди них выделяется глав-
ная ветвь, которая определяется условием | Im ln z| < π. Будем ее
обозначать w = ln z. Легко видеть, что так определенная функция