Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§5. Экспонента и тригонометрические функции 27
Отметим некоторые свойства экспоненты. Из определяющего ее
дифференциального уравнения следует так называемая теорема сло-
жения:
e
z
1
+z
2
= e
z
1
· e
z
2
∀z
1
, z
2
∈ C.
Действительно, для любого фиксированного a ∈ C имеем
(e
z
· e
a−z
)
0
= e
z
· e
a−z
− e
z
· e
a−z
= 0
и, следовательно, e
z
· e
a−z
≡ e
a
(значение при z = 0). Полагая в этом
тождестве a = z
1
+z
2
и z = z
1
, получаем равенство теоремы сложения.
Применение теоремы сложения, в частности, дает e
z
·e
−z
≡ 1, откуда
следует, что e
z
6= 0 ни при каком z ∈ C. Далее, из вида степенного
ряда видно, что e
x
> 1 при x > 0, а из равенства e
x
e
−x
= 1 полу-
чаем также 0 < e
x
< 1 при x < 0. Наконец, в силу вещественности
коэффициентов разложения имеет место равенство:
e
z
= e
z
.
Следовательно, для любого y ∈ R имеем |e
iy
|
2
= e
iy
e
−iy
= 1 и
|e
x+iy
| = e
x
|e
iy
| = e
x
.
Одним из преимуществ комплексного анализа является то, что в нем
наиболее полно раскрываются связи между элементарными функци-
ями. Заметим, что степенной ряд экспоненты можно рассматривать
как продолжение в комплексную плоскость ее вещественного ряда. В
связи с этим оправдано введение тригонометрических функций по-
средством равенств:
cos z =
e
iz
+ e
−iz
2
, sin z =
e
iz
− e
−iz
2i
.
При этом
cos z = 1 −
z
2
2!
+
z
4
4!
− ···, sin z = z −
z
3
3!
+
z
5
5!
− ···.
Для вещественных z мы получаем ряды Тейлора соответствующих
функций вещественного переменного . Непосредственно из определе-
ния косинуса и синуса следует формула Эйлера:
e
iz
= cos z + i sin z,
§ 5.   Экспонента и тригонометрические функции                    27

   Отметим некоторые свойства экспоненты. Из определяющего ее
дифференциального уравнения следует так называемая теорема сло-
жения:
                  ez1 +z2 = ez1 · ez2 ∀z1 , z2 ∈ C.
Действительно, для любого фиксированного a ∈ C имеем

                  (ez · ea−z )0 = ez · ea−z − ez · ea−z = 0
и, следовательно, ez · ea−z ≡ ea (значение при z = 0). Полагая в этом
тождестве a = z1 +z2 и z = z1 , получаем равенство теоремы сложения.
Применение теоремы сложения, в частности, дает ez · e−z ≡ 1, откуда
следует, что ez 6= 0 ни при каком z ∈ C. Далее, из вида степенного
ряда видно, что ex > 1 при x > 0, а из равенства ex e−x = 1 полу-
чаем также 0 < ex < 1 при x < 0. Наконец, в силу вещественности
коэффициентов разложения имеет место равенство:
                                  ez = ez .
Следовательно, для любого y ∈ R имеем |eiy |2 = eiy e−iy = 1 и
                          |ex+iy | = ex |eiy | = ex .
Одним из преимуществ комплексного анализа является то, что в нем
наиболее полно раскрываются связи между элементарными функци-
ями. Заметим, что степенной ряд экспоненты можно рассматривать
как продолжение в комплексную плоскость ее вещественного ряда. В
связи с этим оправдано введение тригонометрических функций по-
средством равенств:
                       eiz + e−iz                 eiz − e−iz
               cos z =            ,       sin z =            .
                            2                         2i
При этом
                   z2 z4                      z3 z5
       cos z = 1 −    +    − ···, sin z = z −    +    − ···.
                   2!   4!                    3!   5!
Для вещественных z мы получаем ряды Тейлора соответствующих
функций вещественного переменного. Непосредственно из определе-
ния косинуса и синуса следует формула Эйлера:
                           eiz = cos z + i sin z,

Страницы