Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§4. Степенные ряды 25
Для произвольного ε > 0 выберем N так, чтобы
P
∞
n=N+1
n|a
n
|ρ
n−1
<
ε/3 и |S
0
N
(z
0
) −g(z
0
)| < ε/3. Существование такого N следует из схо-
димости ряда
P
n|a
n
|ρ
n−1
и условия S
0
n
(z
0
) → g(z
0
), при n → ∞. Затем,
в силу аналитичности S
N
как полинома, можно выбрать δ, 0 < δ <
ρ − |z
0
|, так, чтобы выполнялось неравенство
¯
¯
¯
¯
¯
¯
S
N
(z) − S
N
(z
0
)
z − z
0
− S
0
N
(z
0
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
<
ε
3
,
при 0 < |z − z
0
| < δ. Но тогда при этих z будем иметь
¯
¯
¯
¯
¯
¯
f(z) − f(z
0
)
z − z
0
− g(z
0
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
<
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε.
Заметим, что формула (2) носит имя Коши–Адамара. Из хода дока-
зательства видно также, что допускаются случаи R = 0 и ∞.
Упражнения
1. Пусть lim
n→∞
a
n
= A. Докажите, что
lim
n→∞
1
n
(a
1
+ a
2
+ ···+ a
n
) = A.
2. Докажите, что ряд из комплексных членов, каждая часть которо-
го сходится, должен сходиться абсолютно.
3. Докажите, что если ряд
P
|a
n
| расходится, то существует по край-
ней мере одно направление сгущения α, обладающее тем свойст-
вом, что, каково бы ни было ε > 0, ряд абсолютных величин тех
членов ряда
P
a
n
, которые расположены в угле α − ε < arg z <
α + ε, является расходящимся.
4. Найдите радиусы сходимости следующих степенных рядов:
X
n
p
z
n
,
X
q
n
2
z
n
(|q| < 1),
X
z
n!
.
5. Если ряд
P
a
n
z
n
имеет радиус сходимости R, то каковы радиусы
сходимости рядов
P
a
n
z
2n
и
P
a
2
n
z
n
?
6. Если f(z) =
P
a
n
z
n
, то что можно сказать о ряде
P
n
3
a
n
z
n
?
§ 4.   Степенные ряды                                                                      25
                                                                     P
Для произвольного ε > 0 выберем N так, чтобы ∞         n=N +1 n|an |ρ
                                                                      n−1
                                                                          <
           0
ε/3 и |SN (z0 ) − g(z0 )| < ε/3. Существование такого N следует из схо-
                 P
димости ряда n|an |ρn−1 и условия Sn0 (z0 ) → g(z0 ), при n → ∞. Затем,
в силу аналитичности SN как полинома, можно выбрать δ, 0 < δ <
ρ − |z0 |, так, чтобы выполнялось неравенство
                        ¯                                    ¯
                        ¯                                    ¯
                        ¯ SN (z)       − SN (z0 )    0       ¯  ε
                        ¯
                        ¯                         − SN (z0 )¯¯ < ,
                        ¯      z       − z0                  ¯  3

при 0 < |z − z0 | < δ. Но тогда при этих z будем иметь
                  ¯                               ¯
                  ¯                            ¯
                  ¯ f (z)   − f (z0 )          ¯  ε ε ε
                  ¯
                  ¯                   − g(z0 )¯¯ < + + = ε.
                  ¯     z   − z0               ¯  3 3 3

Заметим, что формула (2) носит имя Коши–Адамара. Из хода дока-
зательства видно также, что допускаются случаи R = 0 и ∞.

   Упражнения
 1. Пусть limn→∞ an = A. Докажите, что
                                  1
                              lim
                             n→∞ n 1
                                    (a + a2 + · · · + an ) = A.

 2. Докажите, что ряд из комплексных членов, каждая часть которо-
    го сходится, должен сходиться абсолютно.
                                        P
 3. Докажите, что если ряд |an | расходится, то существует по край-
    ней мере одно направление сгущения α, обладающее тем свойст-
    вом, что, каково бы ни было ε > 0, ряд абсолютных величин тех
                 P
    членов ряда an , которые расположены в угле α − ε < arg z <
    α + ε, является расходящимся.
 4. Найдите радиусы сходимости следующих степенных рядов:
                       X                 X n2 n                    X n!
                            np z n ,        q z       (|q| < 1),     z .
              P
 5. Если ряд an z n имеет радиус сходимости R, то каковы радиусы
                     P        P
    сходимости рядов an z 2n и a2n z n ?
                   P                                                     P
 6. Если f (z) =       an z n , то что можно сказать о ряде                  n3 an z n ?

Страницы