ВУЗ:
Составители:
24 Глава I . Комплексные числа и функции
Для доказательства (ii) заметим, что если | z| > R, то можно
выбрать ρ с условием |z| > ρ > R и в силу
lim
n→∞
n
q
|a
n
| =
1
R
>
1
ρ
найдется бесконечное число индексов n, для которых
n
q
|a
n
| > 1/ρ. Но
тогда для этих ин дексов
|a
n
z
n
| >
|z|
ρ
n
.
Это означает, что необходимое условие сходимости ряда
P
a
n
z
n
(стремление к нулю общего члена) не выполняется и он расходит-
ся.
Приступая к доказательству (iii), заметим, что почленно про-
дифференцированный ряд
P
∞
n=1
na
n
z
n−1
имеет тот же радиус сходи-
мости, что и исходный ряд (1). Это следует из формулы (2) и условия
n
√
n → 1, при n → ∞. Обозначим
S
n
=
n
X
k=0
a
k
z
k
, f(z) =
∞
X
n=0
a
n
z
n
, g(z) =
∞
X
n=1
na
n
z
n−1
.
Тогда f(z) = lim
n→∞
S
n
(z) и g(z) = lim
n→∞
S
0
n
(z), поскольку S
0
n
(z) —
частные суммы ряда g(z).
Фиксируем теперь произвольно z
0
, |z
0
| < R, и выберем ρ > 0 из
условия |z
0
| < ρ < R. Тогда для любого z 6= z
0
из круга |z| ≤ ρ будем
иметь:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
f(z) − f(z
0
)
z − z
0
− g(z
0
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤
¯
¯
¯
¯
¯
¯
S
N
(z) − S
N
(z
0
)
z − z
0
− S
0
N
(z
0
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
+|S
0
N
(z
0
) − g(z
0
)| +
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
z − z
0
∞
X
n=N+1
a
n
(z
n
− z
n
0
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
S
N
(z) − S
N
(z
0
)
z − z
0
− S
0
N
(z
0
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
+|S
0
n
(z
0
) − g(z
0
)| +
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∞
X
n=N+1
a
n
(z
n−1
+ ···+ z
n−1
0
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤
≤
¯
¯
¯
¯
¯
¯
S
N
(z) − S
N
(z
0
)
z − z
0
− S
0
N
(z
0
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ |S
0
N
(z
0
) − g(z
0
)| +
∞
X
n=N+1
n|a
n
|ρ
n−1
.
24 Глава I . Комплексные числа и функции
Для доказательства (ii) заметим, что если |z| > R, то можно
выбрать ρ с условием |z| > ρ > R и в силу
q 1 1
lim n |an | =
n→∞
>
R ρ
q
найдется бесконечное число индексов n, для которых n
|an | > 1/ρ. Но
тогда для этих индексов
n
|z|
|an z n | > .
ρ
P
Это означает, что необходимое условие сходимости ряда an z n
(стремление к нулю общего члена) не выполняется и он расходит-
ся.
Приступая к доказательству (iii), заметим, что почленно про-
P
дифференцированный ряд ∞ n=1 nan z
n−1
имеет тот же радиус сходи-
мости, что и исходный ряд (1). Это следует из формулы (2) и условия
√
n
n → 1, при n → ∞. Обозначим
n
X ∞
X ∞
X
Sn = ak z k , f (z) = an z n , g(z) = nan z n−1 .
k=0 n=0 n=1
Тогда f (z) = limn→∞ Sn (z) и g(z) = limn→∞ Sn0 (z), поскольку Sn0 (z) —
частные суммы ряда g(z).
Фиксируем теперь произвольно z0 , |z0 | < R, и выберем ρ > 0 из
условия |z0 | < ρ < R. Тогда для любого z 6= z0 из круга |z| ≤ ρ будем
иметь:
¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯
¯ f (z) − f (z0 ) ¯ ¯ SN (z) − SN (z0 ) 0 ¯
¯
¯ − g(z0 )¯¯ ≤ ¯
¯ − SN (z0 )¯¯ +
¯ z − z0 ¯ ¯ z − z0 ¯
¯ ¯
¯ ∞ ¯
0 ¯ 1 X n n ¯¯
+|SN (z0 ) − g(z0 )| + ¯
¯ an (z − z0 )¯ =
¯ z − z0 n=N +1 ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ SN (z) − SN (z0 ) 0 ¯
= ¯
¯ − SN (z0 )¯¯ +
¯ z − z0 ¯
¯ ¯
¯ ∞ ¯
¯ X ¯
+|Sn0 (z0 ) − g(z0 )| + ¯
¯ an (z n−1 n−1
+ · · · + z0 )¯¯ ≤
¯n=N +1 ¯
¯ ¯
¯ ¯ ∞
¯ SN (z) − SN (z0 ) 0 ¯ 0 X
≤ ¯
¯ − SN (z0 )¯¯ + |SN (z0 ) − g(z0 )| + n|an |ρn−1 .
¯ z − z0 ¯ n=N +1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
