Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§4. Степенные ряды 23
частные суммы можно записать в виде
1 + z + . . . + z
n−1
=
1 − z
n
1 − z
.
Поскольку z
n
→ 0 при |z| < 1 и |z
n
| ≥ 1 при |z| ≥ 1, то геометрический
ряд сходится к 1/(1 − z) при |z| < 1 и расходится при |z| ≥ 1. Ока-
зывается, что ситуация с геометрическим рядом является типичной.
В действительности, для каждого степенного ряда существует свой
круг сходимости.
Теорема (Абеля). Для каждого степенного ряда (1) число
R = 1/
µ
lim
n→∞
n
q
|a
n
|
, (2)
называемое радиусом сходимости, удовлетворяет следующим усло-
виям:
(i) В каждом круге |z| ≤ ρ < R ряд (1) сходится абсолютно и рав-
номерно;
(ii) Если |z| > R, то ряд (1) расходится;
(iii) Сумма ряда является аналитической в круге |z| < R функцией и
ее производная представляет собой сумму почленно продиффе-
ренцированного ряда (1).
Доказательство. Пусть ρ < R. Выберем ρ
0
∈ (ρ, R). Поскольку
1
ρ
0
>
1
R
= lim
n→∞
n
q
|a
n
|,
то найдется такой номер N, что
n
q
|a
n
| < 1/ρ
0
, при всех n ≥ N. Следо-
вательно, для всех z из круга |z| ≤ ρ
|a
n
z
n
| = |a
n
| · |z
n
| ≤
Ã
ρ
ρ
0
!
n
,
при n ≥ N. Это означает, что в круге |z| ≤ ρ ряд (1) мажорируется
геометрической прогрессией. Поскольку ρ/ρ
0
< 1, то мажорантный
ряд сходится и (i) доказано.
§ 4.   Степенные ряды                                                 23

частные суммы можно записать в виде
                                                  1 − zn
                      1 + z + . . . + z n−1 =            .
                                                  1−z
Поскольку z n → 0 при |z| < 1 и |z n | ≥ 1 при |z| ≥ 1, то геометрический
ряд сходится к 1/(1 − z) при |z| < 1 и расходится при |z| ≥ 1. Ока-
зывается, что ситуация с геометрическим рядом является типичной.
В действительности, для каждого степенного ряда существует свой
круг сходимости.

Теорема (Абеля). Для каждого степенного ряда (1) число
                                  µ       q        ¶
                         R = 1/ n→∞
                                 lim |an | ,  n
                                                                      (2)

называемое радиусом сходимости, удовлетворяет следующим усло-
виям:

 (i) В каждом круге |z| ≤ ρ < R ряд (1) сходится абсолютно и рав-
     номерно;
(ii) Если |z| > R, то ряд (1) расходится;
(iii) Сумма ряда является аналитической в круге |z| < R функцией и
      ее производная представляет собой сумму почленно продиффе-
      ренцированного ряда (1).

Доказательство. Пусть ρ < R. Выберем ρ0 ∈ (ρ, R). Поскольку
                          1     1       q
                            0
                              >   = lim
                                    n→∞
                                        n
                                          |an |,
                          ρ     R
                                      q
то найдется такой номер N, что n |an | < 1/ρ0 , при всех n ≥ N. Следо-
вательно, для всех z из круга |z| ≤ ρ
                                                  Ã    !n
                           n              n    ρ
                      |an z | = |an | · |z | ≤ 0            ,
                                               ρ
при n ≥ N. Это означает, что в круге |z| ≤ ρ ряд (1) мажорируется
геометрической прогрессией. Поскольку ρ/ρ0 < 1, то мажорантный
ряд сходится и (i) доказано.

Страницы