Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

22 Глава I . Комплексные числа и функции
2. Покажите, что гармоническая функция u(x, y) удовлетворяет
дифференциальному уравнению с формальными производными
∂
2
u
∂z∂z
= 0.
3. Докажите, что функции f(z) и f(z) являются аналитическими
одновременно.
§4. Степенные ряды
Понятие предела последовательности, как и предела функции, в
комплексном анализе вводится посредством модуля совершенно ана-
логично вещественному случаю. При исследовании вопроса сходимос-
ти также важную роль играет понятие фундаментальной последова-
тельности и имеет место критерий Коши. Совершенно аналогично ве-
щественному случаю строится теория абсолютно сходящихся рядов с
комплексными членами. Что касается условно сходящихся рядов, то в
комплексном случае эта теория богаче, но мы не имеем возможности
на ее детальное обсуждение. Некоторые особенности условно сходя-
щихся рядов с комплексными членами отражены в упражнениях.
Совершенно без изменений формулируется понятие равномер-
ной сходимости функциональных последовательностей и рядов. При
этом предел равномерно сходящейся последовательности непрерыв -
ных функций является непрерывной функцией, и если функциональ-
ный ряд мажорируется абсолютно сходящимся числовым рядом, то
он равномерно сходится (признак Вейерштрасса).
Под степенным рядом понимается функциональный ряд вида
a
0
+ a
1
z + ···+ a
n
z
n
+ . . . , (1)
где a
n
— комплексные числа, называемые коэффициентами ряда, а
z — комплексная переменная. Можно рассмотреть более общий вид
степенного ряда
P
∞
n=0
a
n
(z − z
0
)
n
, но при его изучении не возникает
существенных особенностей . Он сразу же принимает вид (1) после
замены переменной ζ = (z − z
0
).
Почти тривиальный, но важный пример степенного ряда пред-
ставляет так называемый геометрический ряд 1 + z + z
2
+ . . . . Его
22                          Глава I .      Комплексные числа и функции

 2. Покажите, что гармоническая функция u(x, y) удовлетворяет
    дифференциальному уравнению с формальными производными
                                   ∂ 2u
                                        = 0.
                                  ∂z∂z

 3. Докажите, что функции f (z) и f (z) являются аналитическими
    одновременно.

§ 4.   Степенные ряды

    Понятие предела последовательности, как и предела функции, в
комплексном анализе вводится посредством модуля совершенно ана-
логично вещественному случаю. При исследовании вопроса сходимос-
ти также важную роль играет понятие фундаментальной последова-
тельности и имеет место критерий Коши. Совершенно аналогично ве-
щественному случаю строится теория абсолютно сходящихся рядов с
комплексными членами. Что касается условно сходящихся рядов, то в
комплексном случае эта теория богаче, но мы не имеем возможности
на ее детальное обсуждение. Некоторые особенности условно сходя-
щихся рядов с комплексными членами отражены в упражнениях.
    Совершенно без изменений формулируется понятие равномер-
ной сходимости функциональных последовательностей и рядов. При
этом предел равномерно сходящейся последовательности непрерыв-
ных функций является непрерывной функцией, и если функциональ-
ный ряд мажорируется абсолютно сходящимся числовым рядом, то
он равномерно сходится (признак Вейерштрасса).
    Под степенным рядом понимается функциональный ряд вида

                    a0 + a1 z + · · · + an z n + . . . ,           (1)

где an — комплексные числа, называемые коэффициентами ряда, а
z — комплексная переменная. Можно рассмотреть более общий вид
                P
степенного ряда ∞                n
                 n=0 an (z − z0 ) , но при его изучении не возникает
существенных особенностей. Он сразу же принимает вид (1) после
замены переменной ζ = (z − z0 ).
    Почти тривиальный, но важный пример степенного ряда пред-
ставляет так называемый геометрический ряд 1 + z + z 2 + . . . . Его

Страницы