Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 18 стр.

20                           Глава I .    Комплексные числа и функции

    Если αj повторяется в представлении (5) kj раз, то kj называется
порядком нуля αj полинома P (z). Таким образом, считая каждый
нуль столько раз, какова его кратность, можно сказать, что полином
степени n имеет ровно n корней.
    Порядок нуля можно выразить в терминах производных. Дейст-
вительно, если α — нуль k-того порядка полинома P (z), то P (z) =
(z − α)k Pk (z), где Pk — полином степени n − k и Pk (α) 6= 0. Последо-
вательное дифференцирование показывает, что

                 P (α) = P 0 (α) = · · · = P (k−1) (α) = 0,

в то время как P (k) (α) 6= 0. Другими словами, порядок нуля равен
порядку первой отличной от нуля производной в этой точке. Нуль
первого порядка называется простым нулем и характеризуется усло-
виями: P (α) = 0, P 0 (α) 6= 0.
    Следующий шаг в расширении класса аналитических функций
приводит к рассмотрению рациональных функций
                                       P (z)
                              R(z) =         ,
                                       Q(z)
представляющих собой отношение двух полиномов. Будем предпола-
гать, что P (z) и Q(z) не имеют общих множителей, а следовательно, и
нулей. Кроме того, рассматривая R(z) как функцию со значениями из
расширенной комплексной плоскости, можно считать ее непрерывной.
Нули Q(z) называются полюсами функции R(z) и им приписывается
тот же порядок. Производная

                     0      P 0 (z)Q(z) − Q0 (z)P (z)
                    R (z) =
                                     (Q(z))2
существует во всех точках z, где Q(z) 6= 0. Однако, она определена
как рациональная функция с теми же полюсами, что и R(z). Порядок
каждого полюса функции R0 (z) возрастает на единицу в сравнении с
функцией R(z).
    Большее единство достигается, когда позволяют z пробегать всю
расширенную комплексную плоскость C (R : C → C является непре-
рывной в сферической метрике). При этом R(∞) можно определить
предельным переходом. Однако это не дает возможность определить