Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 17 стр.

§ 3.   Комплексная дифференцируемость                                19

Это наводит на высказывание, что аналитическая функция не зави-
сит от z, а является лишь функцией от z.

Теорема 2. Пусть f — аналитическая в круге |z − a| < r функция
и f 0 (z) = 0 в нем. Тогда f (z) ≡ const.

Доказательство. Если f (z) = u(x, y)+iv(x, y), то в силу сделанного
предположения u0x = u0y = vx0 = vy0 = 0. Применяя одномерную теоре-
му, получаем постоянство u и v на всех горизонтальных и вертикаль-
ных прямых. Отсюда и из того, что каждые две точки круга можно
соединить ломанной с вертикальными и горизонтальными звеньями,
следует утверждение теоремы.         2
    Выделим теперь некоторые простейшие аналитические функции.
Каждая константа является аналитической в C функцией с производ-
ной, равной нулю. Поскольку сумма и произведение двух аналитичес-
ких функций снова аналитическая функция, то полином

                      P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n
представляет собой аналитическую в C функцию. Если an 6= 0, то
число n называется степенью полинома P. При этом его производная

                   P 0 (z) = a1 + 2a2 z + · · · + nan z n−1

является полиномом степени n − 1. Нулевую константу можно рас-
сматривать как полином. Однако по многим причинам ее приходится
исключать из алгебры полиномов.
    При n > 0 уравнение P (z) = 0 по основной теореме алгебры
имеем, по крайней мере, один корень α1 . Тогда P (z) = (z − α1 )P1 (z),
где P1 — полином степени n − 1. Повторение этого процесса приводит
к представлению

                    P (z) = an (z − α1 ) . . . (z − αn ),            (5)

где корни α1 , . . . , αn не обязательно различные. Из разложения P (z)
на множители и отсутствия делителей нуля в поле комплексных чи-
сел следует, что P (z) не может обращаться в нуль ни в одной точке,
отличной от α1 , . . . , αn . Более того, приведенная факторизация един-
ственна с точностью до порядка сомножителей.