Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 15 стр.

§ 3.   Комплексная дифференцируемость                           17

где ζ = ξ + iη. С другой стороны, комплексная дифференцируемость
функции f в точке z эквивалентна представлению

                    f (z + ζ) − f (z) = f 0 (z)ζ + o(|ζ|).

Отделяя в этом равенстве вещественную и мнимую части, получаем
(f 0 (z) = α + iβ):

              u(x + ξ, y + η) − u(x, y) = αξ − βη + o(|ζ|),

              v(x + ξ, y + η) − v(x, y) = αη + βξ + o(|ζ|).
В силу единственности дифференциала получаем

                 u0x = α,    u0y = −β,   vx0 = β,    vy0 = α,

что эквивалентно (3).
     Таким образом, из комплексной дифференцируемости следует ве-
щественная дифференцируемость и выполнения условий (3). Обрат-
но, если f дифференцируема в вещественном смысле и выполняющая
равенства (3), то, очевидно, имеет место и комплексная дифференци-
руемость.     2
     Заметим, что из хода доказательства теоремы следует равенство:

                         ∂f   ∂u    ∂v   ∂v    ∂u     ∂f
             f 0 (z) =      =    +i    =    −i    = −i .
                         ∂x   ∂x    ∂x   ∂y    ∂y     ∂y

В действительности, мы можем записать четыре различных выраже-
ния для f 0 (z). Приведенные два равенства дают комплексную запись
уравнений (3):
                             ∂f      ∂f
                                 = −i .                        (4)
                             ∂x      ∂y
Определение. Функцию f, определенную на открытом множестве
D будем называть аналитической, или голоморфной, в D, если она
дифференцируема в комплексном смысле в каждой точке D.
Будем говорить, что f аналитична на произвольном множестве
E ⊂ C, если она аналитична в некотором открытом множестве
D, содержащем E.