Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 14 стр.

16                           Глава I .   Комплексные числа и функции

Обратно, если выполнены последние соотношения, то выполняются
и (1), (2). Функция f (z) называется непрерывной в точке a, если
limz→a f (z) = f (a). Термин непрерывная функция будем применять в
случае, когда f непрерывна во всех точках, где она определена.
    Сумма f (z) + g(z) и произведение f (z)g(z) двух непрерывных
функций являются непрерывными; частное f (z)/g(z) определено и
непрерывно в a, если g(a) 6= 0. Кроме того, если f (z) непрерывна,
то таковыми являются Re f (z), Im f (z) и |f (z)|.
    Производная функции определяется как предел отношения при-
ращений независимой и зависимой переменных. Таким образом, по
форме комплексное дифференцирование вполне аналогично вещест-
венному:
                                       f (z) − f (a)
                         f 0 (a) = z→a
                                   lim               .
                                           z−a
    Это определение и совпадение правил арифметики комплексных и
вещественных чисел показывают, что обычные правила дифференци-
рования суммы, произведения и частного выполняются и в комплекс-
ном случае. Выполняется также правило дифференцирования слож-
ной функции.
    Однако, в отличие от понятия непрерывности, которое сводит-
ся просто к непрерывности вещественной и мнимой частей, усло-
вие дифференцируемости влечет совершенно неожиданные свойства
функции.

Теорема 1. Для дифференцируемости функции w = f (z) = u(x, y) +
iv(x, y) в точке z в комплексном смысле необходимо и достаточ-
но, чтобы она была дифференцируема в вещественном смысле (т.е.
дифференцируемы функции u(x, y) и v(x, y)) и выполнялись соотно-
шения:
                      ∂u   ∂v     ∂u     ∂v
                         =    ,      =− .                    (3)
                      ∂x   ∂y     ∂y     ∂x

Доказательство. Вещественная дифференцируемость функции f в
точке z = x + iy означает представление приращений:

            u(x + ξ, y + η) − u(x, y) = u0x ξ + u0y η + o(|ζ|),

            v(x + ξ, y + η) − v(x, y) = vx0 ξ + vy0 η + o(|ζ|),