Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 13 стр.

§ 3.   Комплексная дифференцируемость                                 15

§ 3.    Комплексная дифференцируемость

    Теория функций комплексного переменного расширяет исчисле-
ние на комплексную область. При этом и дифференцирование и ин-
тегрирование приобретают некоторое новое значение. Кроме того,
область применения их существенно сужается и приводит к клас-
су аналитических или голоморфных функций.
    В основном мы будем придерживаться традиционного понима-
ния функции как отображения одного множества комплексных чисел
в другое. В таком представлении функция должна быть однознач-
ной. Хотя более глубокое проникновение в природу аналитических
функций заставляет нас отступить от однозначности.

Определение.
Говорят, что функция f (z) имеет предел A при z → a и пишут

                                 lim f (z) = A,
                                 z→a
                                                                      (1)

если
           ∀ε > 0     ∃δ > 0 : |f (z) − A| < ε при 0 < |z − a| < δ.


     Формулировка легко видоизменяется для случая, когда a =
∞ или A = ∞ (или оба вместе). Например, при a = ∞ нужно пи-
сать |z| > R вместо 0 < |z − a| < δ.
     Хорошо известные из вещественного анализа результаты, каса-
ющиеся предела суммы, произведения и частного остаются верными
и в комплексном анализе. Действительно, их доказательства основы-
ваются только на свойствах модуля:

                |ab| = |a| |b|      и      |a + b| ≤ |a| + |b|.

       Заметим также, что условие (1) эквивалентно

                                 lim f (z) = A.
                                 z→a
                                                                      (2)
Из (1) и (2) следуют также соотношения:

                lim Re f (z) = Re A,
                z→a
                                         lim Im F (z) = Im A.
                                         z→a