Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§2. Геометрическое представление комплексных чисел 13
в трехмерном пространстве задается уравнением x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
= 1. С
каждой точкой на сфере S, исключая (0,0,1), можно ассоциировать
комплексное число
z =
x
1
+ ix
2
1 −x
3
.
Это — взаимно однозначное соответствие. Действительно,
|z|
2
=
x
2
1
+ x
2
2
(1 − x
3
)
2
=
1 + x
3
1 − x
3
и, следовательно,
x
3
=
|z|
2
− 1
|z|
2
+ 1
.
Дальнейшие вычисления дают
x
1
=
z + z
1 + |z|
2
, x
2
=
z − z
i(1 + |z|
2
)
.
Это отображение дополняется соответствием (0, 0, 1) → ∞. Заметим,
что полусфера x
3
< 0 соответствует кругу |z| < 1 и полусфера x
3
> 0
— внешности |z| > 1.
Геометрически очевидно, что стереографическая проекция пре-
образует каждую окружность на сфере в окружность или прямую в
z-плоскости. Для доказательства этого заметим, что окружность на
сфере лежит в плоскости α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ α
3
x
3
= α
0
, где можно считать
α
2
1
+ α
2
2
+ α
2
3
= 1 и 0 ≤ α
0
< 1. В терминах z и z это уравнение
принимает вид:
α
1
(z + z) − α
2
i(z − z) + α
3
(|z|
2
− 1) = α
0
(|z|
2
+ 1),
или, если z = x + iy, в виде
(α
0
− α
3
)(x
2
+ y
2
) − 2α
1
x − 2α
2
y + α
0
+ α
3
= 0.
При α
0
6= α
3
это уравнение задает окружность, а при α
0
= α
3
—
прямую.
Сферическая метрика. Можно в комплексной плоскости ввести
расстояние d(z, z
0
), которое выражало бы евклидово расстояние меж-
ду их образами на сфере Римана. Если (x
1
, x
2
, x
3
) и (x
0
1
, x
0
2
, x
0
3
) — со-
ответствующие точки на сф ере S , то
(x
1
− x
0
1
)
2
+ (x
2
− x
0
2
)
2
+ (x
3
− x
0
3
)
2
= 2 − 2(x
1
x
0
1
+ x
2
x
0
2
+ x
3
x
0
3
).
§ 2.    Геометрическое представление комплексных чисел                                  13

в трехмерном пространстве задается уравнением x21 + x22 + x23 = 1. С
каждой точкой на сфере S, исключая (0,0,1), можно ассоциировать
комплексное число
                              x1 + ix2
                          z=           .
                               1 − x3
Это — взаимно однозначное соответствие. Действительно,
                                 2   x21 + x22   1 + x3
                              |z| =            =
                                    (1 − x3 )2   1 − x3
и, следовательно,
                                   |z|2 − 1
                             x3 = 2         .
                                   |z| + 1
       Дальнейшие вычисления дают
                         z+z                    z−z
                   x1 =          ,    x 2 =               .
                        1 + |z|2             i(1 + |z|2 )
Это отображение дополняется соответствием (0, 0, 1) → ∞. Заметим,
что полусфера x3 < 0 соответствует кругу |z| < 1 и полусфера x3 > 0
— внешности |z| > 1.
     Геометрически очевидно, что стереографическая проекция пре-
образует каждую окружность на сфере в окружность или прямую в
z-плоскости. Для доказательства этого заметим, что окружность на
сфере лежит в плоскости α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 = α0 , где можно считать
α12 + α22 + α32 = 1 и 0 ≤ α0 < 1. В терминах z и z это уравнение
принимает вид:
              α1 (z + z) − α2 i(z − z) + α3 (|z|2 − 1) = α0 (|z|2 + 1),
или, если z = x + iy, в виде
                (α0 − α3 )(x2 + y 2 ) − 2α1 x − 2α2 y + α0 + α3 = 0.
При α0 6= α3 это уравнение задает окружность, а при α0 = α3 —
прямую.
Сферическая метрика. Можно в комплексной плоскости ввести
расстояние d(z, z 0 ), которое выражало бы евклидово расстояние меж-
ду их образами на сфере Римана. Если (x1 , x2 , x3 ) и (x01 , x02 , x03 ) — со-
ответствующие точки на сфере S, то
       (x1 − x01 )2 + (x2 − x02 )2 + (x3 − x03 )2 = 2 − 2(x1 x01 + x2 x02 + x3 x03 ).

Страницы