Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§2. Геометрическое представление комплексных чисел 11
В этом правиле заложена некоторая условность, которая со вре-
менем все больше и больше себя проявляет. По существу, в наших
рассмотрениях соотношение arg(a
1
a
2
) = arg a
1
+ arg a
2
выражает ско-
рее равенство углов, чем равенство чисел. Значение arg a определя-
ется, вообще говоря, неоднозначно. К этому вопросу нам придется
неоднократно возвращаться. Пусть a = r(cos ϕ + i sin ϕ) 6= 0. Тогда
1
a
=
1
r
·
1
cos ϕ + i sin ϕ
=
1
r
(cos ϕ − i sin ϕ) =
1
r
[cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)].
Применяя теперь правило для произведения, получаем:
При делении комплексных чисел
аргументы вычитаются
Заметим, что для нуля аргумент не определен вовсе. Легко ви-
деть, что a и 1/a являются точками, симметричными относительно
единичной окружности. Эффективность тригонометрической записи
комплексных чисел особенно проявляется при исследовании биноми-
ального уравнения z
n
= a. Из правил умножения сразу же получаем
для z = ρ(cos θ + i sin θ) :
z
n
= ρ
n
(cos nθ + i sin θ).
В случае ρ = 1 эта формула носит имя Муавра. Таким образом, урав-
нение z
n
= a = r(cos ϕ + i sin ϕ) полностью эквивалентно равенствам:
ρ
n
= r, nθ = ϕ + 2kπ, k ∈ Z.
Это позволяет все решения уравнения z
n
= a записать формулой:
z =
n
√
r
"
cos
Ã
ϕ
n
+ k
2π
n
!
+ i sin
Ã
ϕ
n
+ k
2π
n
!#
,
k = 0, 1, . . . , n − 1. Это — все корни n-й степени из числа a 6= 0. Они
имеют один и тот же модуль, а их аргументы равномерно распреде-
лены.
В частности, при a = 1 получаем корни из единицы:
1, w, . . . , w
n−1
,
§ 2.   Геометрическое представление комплексных чисел                          11

    В этом правиле заложена некоторая условность, которая со вре-
менем все больше и больше себя проявляет. По существу, в наших
рассмотрениях соотношение arg(a1 a2 ) = arg a1 + arg a2 выражает ско-
рее равенство углов, чем равенство чисел. Значение arg a определя-
ется, вообще говоря, неоднозначно. К этому вопросу нам придется
неоднократно возвращаться. Пусть a = r(cos ϕ + i sin ϕ) 6= 0. Тогда
  1  1       1          1                   1
    = ·                = (cos ϕ − i sin ϕ) = [cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)].
  a  r cos ϕ + i sin ϕ  r                   r
Применяя теперь правило для произведения, получаем:

                   При делении комплексных чисел
                 аргументы вычитаются

    Заметим, что для нуля аргумент не определен вовсе. Легко ви-
деть, что a и 1/a являются точками, симметричными относительно
единичной окружности. Эффективность тригонометрической записи
комплексных чисел особенно проявляется при исследовании биноми-
ального уравнения z n = a. Из правил умножения сразу же получаем
для z = ρ(cos θ + i sin θ) :

                            z n = ρn (cos nθ + i sin θ).

В случае ρ = 1 эта формула носит имя Муавра. Таким образом, урав-
нение z n = a = r(cos ϕ + i sin ϕ) полностью эквивалентно равенствам:

                   ρn = r,        nθ = ϕ + 2kπ,              k ∈ Z.

Это позволяет все решения уравнения z n = a записать формулой:
                        "     Ã             !            Ã            !#
                   √         ϕ    2π         ϕ    2π
              z=   n
                       r cos   +k    + i sin   +k                          ,
                             n     n         n     n
k = 0, 1, . . . , n − 1. Это — все корни n-й степени из числа a 6= 0. Они
имеют один и тот же модуль, а их аргументы равномерно распреде-
лены.
    В частности, при a = 1 получаем корни из единицы:

                                  1, w, . . . , wn−1 ,

Страницы