Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 8 стр.

UptoLike

Составители: 

10 Глава I . Комплексные числа и функции
§2. Геометрическое представление комплексных чисел
В координатной плоскости комплексное число a = α + можно
интерпретировать либо как точку с координатами (α, β), либо как
вектор, выходящий из начала координат в эту точку. Саму плоскость
в этом случае будем называть комплексной плоскостью .
Сложение комплексных чисел вполне согласуется с векторным
сложением. Кроме того, простое геометрическое содержание получа-
ют модуль комплексного числа |a|, тождество |a + b|
2
+ |a b|
2
=
2(|a|
2
+ |b|
2
) и неравенство |a + b| |a| + |b|.
Точка a и ее комплексное сопряжение a симметричны относи-
тельно вещественной оси. Точка, симметричная к a относительно
мнимой оси, выражается в комплексной записи как a. Это является
основой для аналитической записи симметрии относительно прямых.
Легко выражается аналитически и симметрия относительно окруж -
ности. Для этого, а также для геометрической интерпретации произ-
ведения комплексных чисел, удобно ввести полярные координаты.
Если (r, ϕ) полярные координаты точки (α, β), то α =
r cos ϕ, β = r sin ϕ. Это приводит нас к тригонометрической фор-
ме комплексного числа:
a = α + = r(cos ϕ + i sin ϕ).
При этом r = |a|, а полярный угол ϕ называется аргументом комп-
лексного числа и обозначается arg a.
Рассмотрим два комплексных числа a
1
= r
1
(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
) и
a
2
= r
2
(cos ϕ
2
+ i sin ϕ
2
). Их произведение записывается в виде
a
1
a
2
= r
1
r
2
[(cos ϕ
1
cos ϕ
2
sin ϕ
1
sin ϕ
2
) + i(sin ϕ
1
cos ϕ
2
+ cos ϕ
1
sin ϕ
2
)].
Используя теперь теоремы косинусов и синусов суммы углов, полу-
чаем:
a
1
a
2
= r
1
r
2
[cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
+ ϕ
2
)].
Это равенство приводит к правилу:
Аргумент произведения равен
сумме аргументов сомножителей
10                               Глава I .    Комплексные числа и функции

§ 2.   Геометрическое представление комплексных чисел

     В координатной плоскости комплексное число a = α + iβ можно
интерпретировать либо как точку с координатами (α, β), либо как
вектор, выходящий из начала координат в эту точку. Саму плоскость
в этом случае будем называть комплексной плоскостью.
     Сложение комплексных чисел вполне согласуется с векторным
сложением. Кроме того, простое геометрическое содержание получа-
ют модуль комплексного числа |a|, тождество |a + b|2 + |a − b|2 =
2(|a|2 + |b|2 ) и неравенство |a + b| ≤ |a| + |b|.
     Точка a и ее комплексное сопряжение a симметричны относи-
тельно вещественной оси. Точка, симметричная к a относительно
мнимой оси, выражается в комплексной записи как −a. Это является
основой для аналитической записи симметрии относительно прямых.
Легко выражается аналитически и симметрия относительно окруж-
ности. Для этого, а также для геометрической интерпретации произ-
ведения комплексных чисел, удобно ввести полярные координаты.
     Если (r, ϕ) — полярные координаты точки (α, β), то α =
r cos ϕ, β = r sin ϕ. Это приводит нас к тригонометрической фор-
ме комплексного числа:

                        a = α + iβ = r(cos ϕ + i sin ϕ).

При этом r = |a|, а полярный угол ϕ называется аргументом комп-
лексного числа и обозначается arg a.
    Рассмотрим два комплексных числа a1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) и
a2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ). Их произведение записывается в виде

a1 a2 = r1 r2 [(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) + i(sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2 )].

Используя теперь теоремы косинусов и синусов суммы углов, полу-
чаем:
             a1 a2 = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )].
Это равенство приводит к правилу:

                      Аргумент произведения равен
                    сумме аргументов сомножителей