Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

8 Глава I . Комплексные числа и функции
и, следовательно,
|ab| = |a| · |b|.
Если b 6= 0, то для частного a/b, выполняя очевидные преобразования
b (a/b) = a ⇒ |b| ·
¯
¯
¯
¯
¯
a
b
¯
¯
¯
¯
¯
= |a|,
получаем
¯
¯
¯
¯
¯
a
b
¯
¯
¯
¯
¯
=
|a|
|b|
.
Отметим теперь некоторые неравенства, которые постоянно исполь-
зуются в комплексном анализе . При этом нужно иметь в виду, что
множество комплексных чисел не упорядочено. Поэтому все неравен-
ства должны быть между вещественными числами.
Из определения модуля сразу же следуют неравенства:
−|a| ≤ Re a ≤ |a|, −|a| ≤ Im a ≤ |a|.
Равенство Re a = |a| имеет место в том и только в том случае , если
a вещественно и ≥ 0. Далее
|a + b|
2
= |a|
2
+ |b|
2
+ 2 Re ab ≤ |a|
2
+ |b|
2
+ 2|a||b| = (|a| + |b|)
2
,
и мы получаем неравенство треугольника :
|a + b| ≤ |a| + |b|.
Из хода доказательства видно, что равенство в нем достигается в том
и только в том случае, если ab ≥ 0.
Применяя неравенство треугольника, получаем также:
|a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b| ⇔ |a| − |b| ≤ |a − b|.
Аналогично получается неравенство |b| − |a| ≤ |a − b|. Это вместе с
предыдущим дает:
¯
¯
¯
¯
|a| − |b|
¯
¯
¯
¯
≤ |a − b|.
В заключение докажем комплексный вариант неравенства Коши:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
n
X
i=1
a
i
b
i
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
≤
n
X
i=1
|a
i
|
2
n
X
i=1
|b
i
|
2
.
8                                      Глава I .           Комплексные числа и функции

и, следовательно,
                                       |ab| = |a| · |b|.
Если b 6= 0, то для частного a/b, выполняя очевидные преобразования
                                                            ¯ ¯
                                                            ¯a¯
                                                            ¯ ¯
                          b (a/b) = a ⇒ |b| ·               ¯ ¯
                                                            ¯b¯
                                                                  = |a|,

получаем                                 ¯ ¯
                                 |a|     ¯a¯
                                         ¯ ¯
                                     .   ¯ ¯
                                         ¯b¯
                                               =
                                 |b|
Отметим теперь некоторые неравенства, которые постоянно исполь-
зуются в комплексном анализе. При этом нужно иметь в виду, что
множество комплексных чисел не упорядочено. Поэтому все неравен-
ства должны быть между вещественными числами.
    Из определения модуля сразу же следуют неравенства:

                 −|a| ≤ Re a ≤ |a|,                    −|a| ≤ Im a ≤ |a|.

Равенство Re a = |a| имеет место в том и только в том случае, если
a вещественно и ≥ 0. Далее

    |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2 Re ab ≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| = (|a| + |b|)2 ,

и мы получаем неравенство треугольника :

                                  |a + b| ≤ |a| + |b|.

Из хода доказательства видно, что равенство в нем достигается в том
и только в том случае, если ab ≥ 0.
    Применяя неравенство треугольника, получаем также:

       |a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b|                   ⇔        |a| − |b| ≤ |a − b|.

Аналогично получается неравенство |b| − |a| ≤ |a − b|. Это вместе с
предыдущим дает:       ¯         ¯
                       ¯         ¯
                       ¯|a| − |b|¯ ≤ |a − b|.
                       ¯         ¯

    В заключение докажем комплексный вариант неравенства Коши:
                      ¯           ¯2                                  
                      ¯ n         ¯          n                  n
                      ¯X          ¯          X             2  X       2
                      ¯
                      ¯    ai bi ¯¯    ≤          |ai |            |bi |    .
                      ¯i=1        ¯          i=1              i=1

Страницы