Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 4 стр.

Глава I

Комплексные числа и функции

§ 1.   Алгебра комплексных чисел

     Из элементарной алгебры уже известны такие понятия, как мни-
мая единица i, удовлетворяющая условию i2 = −1, и комплексное
число α + iβ = a. К такой записи комплексных чисел приводит же-
лание расширить поле R вещественных чисел решением уравнения
x2 + 1 = 0. Дополняя R числом i и выполняя произвольно операции
сложения и умножения (при этом мы считаем, что арифметические
операции над комплексными числами подчиняются тем же законам,
что и над вещественными числами), мы получаем выражения вида
α + iβ, где α, β ∈ R. Легко проверяется, что и операция деления (ког-
да знаменатель отличен от нуля) разрешима в множестве чисел с
такой записью. Кроме того, если предположить, что α + iβ и α0 + iβ 0
выражают одно и то же комплексное число, то

          (α − α0 ) = i(β 0 − β)   и       (α − α0 )2 = −(β 0 − β)2 ,

что влечет за собой равенства α = α0 , β = β 0 .
    Итак, под комплексным числом мы понимаем выражение a =
α + iβ, где α ∈ R называется вещественной частью числа a и
обозначается Re a, а β ∈ R — мнимой частью и обозначается Im a.
Равенство комплексных чисел означает одновременное равенство их
вещественных и мнимых частей. Совокупность всех комплексных чи-
сел образует, как и R, поле и обозначается C.
    Под комплексным сопряжением понимается преобразование, ко-
торое каждому a = α + iβ ∈ C ставит в соответствие сопряженное
число a = α − iβ. Комплексное сопряжение является инволюцией, что
                                       6