Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§1. Алгебра комплексных чисел 7
выражается равенством:
a = a.
Вещественная и мнимая части комплексного числа a алгебраи-
чески выражаются через a и a :
Re a =
a + a
2
, Im a =
a − a
2i
.
Фундаментальным свойством сопряжения является то, что
a + b = a + b, ab = a b.
Поскольку частное a/b является решением уравнения z b = a и z b = a
(в силу второго равенства), то
Ã
a
b
!
=
a
b
.
Более того, если R(a, b, . . .) — рациональное выражение, составленное
из комплексных чисел a, b, . . . , то
R(a, b, . . .) = R(a, b, . . .).
Отсюда сразу же следует, что если ζ — корень уравнения
c
0
z
n
+ c
1
z
n−1
+ ···+ c
n−1
z + c
n
= 0,
то ζ — корень уравнения
c
0
z
n
+ c
1
z
n−1
+ ···+ c
n−1
z + c
n
= 0.
В частности, если коэффициенты вещественны, то ζ и ζ являются
корнями одновременно.
Заметим теперь, что произведение aa = α
2
+ β
2
всегда положи-
тельно или нуль. Его неотрицательный квадратный корень называ-
ется модулем , или абсолютной величиной комплексного числа a, и
обозначается |a|. Отметим основные свойства модуля. Из определения
следует, что aa = |a|
2
и |a| = |a|. Для произведения получаем
|ab|
2
= ab ab = a b a b = |a|
2
· |b|
2
§ 1.   Алгебра комплексных чисел                                    7

выражается равенством:
                                     a = a.
    Вещественная и мнимая части комплексного числа a алгебраи-
чески выражаются через a и a :
                            a+a                      a−a
                   Re a =       ,          Im a =        .
                             2                        2i
Фундаментальным свойством сопряжения является то, что

                      a + b = a + b,          ab = a b.

Поскольку частное a/b является решением уравнения z b = a и z b = a
(в силу второго равенства), то
                                 Ã    !
                                     a   a
                                       =   .
                                     b   b
Более того, если R(a, b, . . .) — рациональное выражение, составленное
из комплексных чисел a, b, . . . , то

                        R(a, b, . . .) = R(a, b, . . .).

Отсюда сразу же следует, что если ζ — корень уравнения

                 c0 z n + c1 z n−1 + · · · + cn−1 z + cn = 0,

то ζ — корень уравнения

                 c0 z n + c1 z n−1 + · · · + cn−1 z + cn = 0.

В частности, если коэффициенты вещественны, то ζ и ζ являются
корнями одновременно.
    Заметим теперь, что произведение aa = α2 + β 2 всегда положи-
тельно или нуль. Его неотрицательный квадратный корень называ-
ется модулем , или абсолютной величиной комплексного числа a, и
обозначается |a|. Отметим основные свойства модуля. Из определения
следует, что aa = |a|2 и |a| = |a|. Для произведения получаем

                   |ab|2 = ab ab = a b a b = |a|2 · |b|2

Страницы