Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§1. Алгебра комплексных чисел 9
Для его доказательства заметим, что для любого λ ∈ C
0 ≤
n
X
i=1
|a
i
− λb
i
|
2
=
n
X
i=1
|a
i
|
2
+ |λ|
2
n
X
i=1
|b
i
|
2
− 2 Re
λ
n
X
i=1
a
i
b
i
Полагая здесь
λ =
n
X
i=1
a
i
b
i
/
n
X
i=1
|b
i
|
2
,
получаем требуемое.
Упражнения
1. Вычислить значения (1 + i)
n
+ (1 − 1)
n
.
2. Если z = x + iy, найдите вещественные и мнимые части выраже-
ний:
z
4
,
1
z
,
z − 1
z + 1
,
1
z
2
.
3. Покажите, что
−1 ± i
√
3
2
3
= 1.
4. Докажите тождество:
|a + b|
2
+ |a − b|
2
= 2(|a|
2
+ |b|
2
).
5. Найдите абсолютные величины чисел
−2i(3 + i)(2 + 4i)(1 + i),
(3 + 4i)(−1 + 2i)
(−1 − i)(3 − i)
.
6. Докажите, что
¯
¯
¯
¯
¯
a − b
1 − ab
¯
¯
¯
¯
¯
= 1,
если либо |a| = 1, либо |b| = 1.
7. Найдите условия, при которых в неравенстве Коши достигается
равенство.
8. Докажите, что
¯
¯
¯
¯
¯
a − b
1 − ab
¯
¯
¯
¯
¯
< 1,
если |a| < 1 и |b| < 1.
§ 1.    Алгебра комплексных чисел                                                                      9

Для его доказательства заметим, что для любого λ ∈ C
                                                                                                
               n
               X                     n
                                     X                     n                         n          
                              2                           2X                          X
          0≤         |ai − λbi | =         |ai |2 + |λ|          |bi |2 − 2 Re λ           a i bi 
               i=1                   i=1                   i=1                        i=1

Полагая здесь                                                          
                                         n
                                         X                 n
                                                           X             2
                              λ=            ai bi  /          |bi |        ,
                                       i=1                 i=1
получаем требуемое.

   Упражнения
 1. Вычислить значения (1 + i)n + (1 − 1)n .
 2. Если z = x + iy, найдите вещественные и мнимые части выраже-
    ний:
                               1       z−1     1
                          z4,    ,         ,      .
                               z       z+1     z2
 3. Покажите, что
                                     √ 3
                              −1 ±   i  3
                                           = 1.
                                   2
 4. Докажите тождество:
                             |a + b|2 + |a − b|2 = 2(|a|2 + |b|2 ).

 5. Найдите абсолютные величины чисел
                                                                   (3 + 4i)(−1 + 2i)
                     −2i(3 + i)(2 + 4i)(1 + i),                                      .
                                                                    (−1 − i)(3 − i)
 6. Докажите, что                            ¯        ¯
                                             ¯ a−b ¯
                                             ¯        ¯
                                             ¯        ¯
                                             ¯ 1 − ab ¯
                                                           = 1,
       если либо |a| = 1, либо |b| = 1.
 7. Найдите условия, при которых в неравенстве Коши достигается
    равенство.
 8. Докажите, что                            ¯        ¯
                                             ¯ a−b ¯
                                             ¯        ¯
                                             ¯        ¯
                                             ¯ 1 − ab ¯
                                                           < 1,
       если |a| < 1 и |b| < 1.

Страницы