Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 10 стр.

12                        Глава I .   Комплексные числа и функции

где
                                 2π        2π
                       w = cos      + i sin .
                                  n         n

Аналитическая геометрия. В классической аналитической гео-
метрии геометрическое место точек выражается в виде соотношений
между x и y. Их легко перевести в термины z и z. При этом нужно
помнить, что комплексное уравнение обычно эквивалентно двум ве-
щественным, и при выделении кривой они должны выражать одно и
то же.
    Например, уравнение окружности |z − a| = r в алгебраической
форме может быть записано в виде (z − a)(z − a) = r2 . То, что это
уравнение инвариантно при комплексном сопряжении, указывает на
факт представления вещественного уравнения.
    Прямая в комплексной плоскости задается параметрическим
уравнением z = a + bt, где a и b 6= 0 — комплексные числа, а пара-
метр t пробегает все вещественные числа. Два уравнения z = a + bt
и z = a0 + b0 t представляют одну и ту же прямую в том и только
в том случае, когда a0 − a и b0 отличаются от b только веществен-
ными множителями. Направление прямой можно идентифицировать
с arg b. Угол между прямыми z = a + bt и z = a0 + b0 t выражается
числом arg b0 /b (он зависит от порядка перечисления прямых). Орто-
гональность прямых эквивалентна тому, что b0 /b чисто мнимое.
    Неравенство |z − a| < r описывает внутренность круга. Ана-
логично, прямая z = a + bt определяет правую полуплоскость не-
равенством Im{(z − a)/b} < 0 и левую полуплоскость неравенством
Im{(z − a)/b} > 0.

Стереографическая проекция. По разным причинам полезно рас-
ширение системы C комплексных чисел введением бесконечно удален-
ной точки ∞. Ее связь с конечными числами выражается соотноше-
ниями a+∞ = ∞+a = ∞ для конечных a и b·∞ = ∞·b = ∞ для всех
b 6= 0, включая b = ∞. Однако невозможно определить ∞ + ∞ и 0 · ∞
без потери правил арифметики. Тем не менее специально выделяются
случаи a/0 = ∞ для a 6= 0 и b/∞ = 0 при b 6= ∞.
     Наглядным пополнение плоскости C до C = C∪∞ становится при
стереографической проекции. Для этого рассмотрим сферу S, которая