Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

14 Глава I . Комплексные числа и функции
Из формул, связывающих точки плоскости и точки сферы, получаем:
x
1
x
0
1
+ x
2
x
0
2
+ x
3
x
0
3
=
=
(z + z)(z
0
+ z
0
) − (z − z)(z
0
− z
0
) + (|z|
2
− 1)(|z
0
|
2
− 1)
(1 + |z|
2
)(1 + |z
0
|
2
)
=
=
(1 + |z|
2
)(1 + |z
0
|
2
) − 2|z − z
0
|
2
(1 + |z|
2
)(1 + |z
0
|
2
)
.
Следовательно,
d(z, z
0
) =
2|z − z
0
|
q
(1 + |z|
2
)(1 + |z
0
|
2
)
.
При z
0
= ∞ формула принимает вид:
d(z, ∞) =
2
q
1 + |z|
2
.
Упражнения
1. Найдите точки, симметричные к a относительно биссектрис уг-
лов, образованных координатными осями.
2. Докажите, что точки a
1
, a
2
, a
3
являются вершинами равносторон-
него треугольника в том и только в том случае , если a
2
1
+a
2
2
+a
3
3
=
a
1
a
2
+ a
2
a
3
+ a
3
a
1
.
3. Допустим, что a и b — две вершины квадрата. Найдите две дру-
гие вершины во всех возможных вариантах.
4. Упростите выражения 1 + cos ϕ + . . . + cos nϕ и sin ϕ + sin 2ϕ +
. . . + sin nϕ.
5. Найдите центр и радиус окружности, проходящей через точки
a
1
, a
2
, a
3
.
6. Запишите уравнения эллипса, гиперболы и параболы в комплекс-
ной форме.
7. Докажите, что все окружности, проходящие через a и 1/a, пере-
секают окружность |z| = 1 под прямым углом.
14                               Глава I .      Комплексные числа и функции

Из формул, связывающих точки плоскости и точки сферы, получаем:

                             x1 x01 + x2 x02 + x3 x03 =
        (z + z)(z 0 + z 0 ) − (z − z)(z 0 − z 0 ) + (|z|2 − 1)(|z 0 |2 − 1)
      =                                                                     =
                              (1 + |z|2 )(1 + |z 0 |2 )
                       (1 + |z|2 )(1 + |z 0 |2 ) − 2|z − z 0 |2
                     =                                          .
                             (1 + |z|2 )(1 + |z 0 |2 )
Следовательно,
                                          2|z − z 0 |
                      d(z, z 0 ) =   q                          .
                                      (1 + |z|2 )(1 + |z 0 |2 )
При z 0 = ∞ формула принимает вид:
                                                2
                             d(z, ∞) =      q          .
                                              1 + |z|2

  Упражнения
 1. Найдите точки, симметричные к a относительно биссектрис уг-
    лов, образованных координатными осями.
 2. Докажите, что точки a1 , a2 , a3 являются вершинами равносторон-
    него треугольника в том и только в том случае, если a21 +a22 +a33 =
    a1 a2 + a2 a3 + a3 a1 .
 3. Допустим, что a и b — две вершины квадрата. Найдите две дру-
    гие вершины во всех возможных вариантах.
 4. Упростите выражения 1 + cos ϕ + . . . + cos nϕ и sin ϕ + sin 2ϕ +
    . . . + sin nϕ.
 5. Найдите центр и радиус окружности, проходящей через точки
    a1 , a2 , a3 .
 6. Запишите уравнения эллипса, гиперболы и параболы в комплекс-
    ной форме.
 7. Докажите, что все окружности, проходящие через a и 1/a, пере-
    секают окружность |z| = 1 под прямым углом.

Страницы