Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

18 Глава I . Комплексные числа и функции
Система уравнений (3), которой удовлетворяют вещественная и мни-
мая части голоморфной функции называется системой уравнений
Коши-Римана и обладает рядом интересных свойств. В частности,
если предположить, что функции u и v являются дважды непрерыв-
но дифференцируемыми, то из (3) следует:
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
=
∂
2
v
∂x∂y
−
∂
2
v
∂y∂x
= 0,
т. е. u — гармоническая функция. Аналогично проверяется гармо-
ничность функции v.
Отметим еще одно важное равенство, вытекающее из систе-
мы (3):
|f
0
(z)|
2
=
Ã
∂u
∂x
!
2
+
Ã
∂u
∂y
!
2
=
∂u
∂x
∂v
∂y
−
∂u
∂y
∂v
∂x
.
Это равенство показывает, что |f
0
(x)|
2
является якобианом отобра-
жения (x, y) → (u, v).
Отметим еще одно формальное представление условий (3) или
(4), которое проливает некоторым образом свет на природу аналити-
ческих функций. Сразу же оговоримся, что это представление имеет
лишь формальное, а не доказательное значение. Воспользуемся инва-
риантностью формы первого дифференциала и формальной заменой
dx, dy на dz, dz :
df =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy =
1
2
∂f
∂x
(dz + dz) +
1
2i
∂f
∂y
(dz −dz) =
=
1
2
Ã
∂f
∂x
− i
∂f
∂y
!
dz +
1
2
Ã
∂f
∂x
+ i
∂f
∂y
!
dz.
Эта запись побуждает ввести формальные дифференциальные опера-
торы ∂/∂z и ∂/∂z :
∂f
∂z
=
1
2
Ã
∂f
∂x
− i
∂f
∂y
!
,
∂f
∂z
=
1
2
Ã
∂f
∂x
+ i
∂f
∂y
!
.
Из (4) видно, что уравнения Коши–Римана можно записать в виде
∂f/∂z = 0.
18                           Глава I .   Комплексные числа и функции

Система уравнений (3), которой удовлетворяют вещественная и мни-
мая части голоморфной функции называется системой уравнений
Коши-Римана и обладает рядом интересных свойств. В частности,
если предположить, что функции u и v являются дважды непрерыв-
но дифференцируемыми, то из (3) следует:

                    ∂ 2u ∂ 2u    ∂ 2v   ∂ 2v
                        +     =       −      = 0,
                    ∂x2 ∂y 2    ∂x∂y ∂y∂x
т. е. u — гармоническая функция. Аналогично проверяется гармо-
ничность функции v.
     Отметим еще одно важное равенство, вытекающее из систе-
мы (3):
                       Ã    !   Ã    !
               0    2    ∂u 2     ∂u 2 ∂u ∂v ∂u ∂v
             |f (z)| =        +        =      −      .
                         ∂x       ∂y     ∂x ∂y ∂y ∂x
Это равенство показывает, что |f 0 (x)|2 является якобианом отобра-
жения (x, y) → (u, v).
     Отметим еще одно формальное представление условий (3) или
(4), которое проливает некоторым образом свет на природу аналити-
ческих функций. Сразу же оговоримся, что это представление имеет
лишь формальное, а не доказательное значение. Воспользуемся инва-
риантностью формы первого дифференциала и формальной заменой
dx, dy на dz, dz :

            ∂f      ∂f      1 ∂f              1 ∂f
     df =      dx +    dy =      (dz + dz) +       (dz − dz) =
            ∂x      ∂y      2 ∂x             2i ∂y
                              Ã          !        Ã          !
                            1 ∂f      ∂f         1 ∂f     ∂f
                          =        −i      dz +        +i      dz.
                            2 ∂x      ∂y         2 ∂x     ∂y
Эта запись побуждает ввести формальные дифференциальные опера-
торы ∂/∂z и ∂/∂z :
                     Ã         !               Ã         !
             ∂f   1 ∂f    ∂f             ∂f   1 ∂f    ∂f
                =      −i    ,              =      +i    .
             ∂z   2 ∂x    ∂y             ∂z   2 ∂x    ∂y
Из (4) видно, что уравнения Коши–Римана можно записать в виде

                              ∂f /∂z = 0.

Страницы