Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§3. Комплексная дифференцируемость 21
порядок нуля или полюса в ∞. Поэтому предпочтительнее рассмот-
реть функцию R
1
(z) = R(1/z), которая также является рациональной
функцией, и положить
R(∞) = R
1
(0).
Если R
1
(0) = 0 или ∞, то порядок нуля или полюса в ∞ определяет-
ся как соответствующий порядок нуля или полюса функции R
1
(z) в
точке z = 0. Если
R(z) =
a
0
+ a
1
z + ··· + a
n
z
n
b
0
+ b
1
z + ··· + b
m
z
m
,
то
R
1
(z) = z
m−n
a
0
z
n
+ a
1
z
n−1
+ ··· + a
n
b
0
z
m
+ b
1
z
m−1
+ ··· + b
m
,
где z
m−n
в зависимости от знака m − n попадает в числитель или
знаменатель дроби. Если m > n, то R(z) имеет нуль порядка m −n в
∞, а если m < n, то — полюс порядка n − m. В случае m = n имеем
R(∞) = a
n
/b
n
.
Можно теперь подсчитать общее количество нулей и полюсов ра-
циональной функции в расширенной плоскости. При сделанных пред-
положениях относительно бесконечно удаленной точки общее число
нулей равно наибольшему из чисел m и n и равно общему числу по-
люсов. Это общее число для нулей и полюсов называется порядком
рациональной функции.
Если a — произвольная константа, то рациональная функция
R(z) − a имеет то же общее количество полюсов (они просто сов-
падают), что и R(z). Таким образом, их порядки совпадают. Однако
нули функции R(z) − a являются корнями уравнения R(z) = a, и мы
приходим к следующему результату.
Теорема 3. Рациональная функция R(z) порядка k имеет k нулей и
k полюсов. Кроме того, каждое уравнение R(z) = a имеет в точ-
ности k корней.
Упражнения
1. Покажите, что постоянная аналитическая в круге |z−a| < r функ-
ция не может иметь тождественно постоянную абсолютную вели-
чину.
§ 3.   Комплексная дифференцируемость                          21

порядок нуля или полюса в ∞. Поэтому предпочтительнее рассмот-
реть функцию R1 (z) = R(1/z), которая также является рациональной
функцией, и положить
                          R(∞) = R1 (0).
Если R1 (0) = 0 или ∞, то порядок нуля или полюса в ∞ определяет-
ся как соответствующий порядок нуля или полюса функции R1 (z) в
точке z = 0. Если
                             a0 + a1 z + · · · + an z n
                     R(z) =                             ,
                             b0 + b1 z + · · · + bm z m
то
                                   n       n−1
                           m−n a0 z + a1 z      + · · · + an
                R1 (z) = z         m       m−1
                                                             ,
                              b0 z + b1 z       + · · · + bm
где z m−n в зависимости от знака m − n попадает в числитель или
знаменатель дроби. Если m > n, то R(z) имеет нуль порядка m − n в
∞, а если m < n, то — полюс порядка n − m. В случае m = n имеем
R(∞) = an /bn .
    Можно теперь подсчитать общее количество нулей и полюсов ра-
циональной функции в расширенной плоскости. При сделанных пред-
положениях относительно бесконечно удаленной точки общее число
нулей равно наибольшему из чисел m и n и равно общему числу по-
люсов. Это общее число для нулей и полюсов называется порядком
рациональной функции.
    Если a — произвольная константа, то рациональная функция
R(z) − a имеет то же общее количество полюсов (они просто сов-
падают), что и R(z). Таким образом, их порядки совпадают. Однако
нули функции R(z) − a являются корнями уравнения R(z) = a, и мы
приходим к следующему результату.
Теорема 3. Рациональная функция R(z) порядка k имеет k нулей и
k полюсов. Кроме того, каждое уравнение R(z) = a имеет в точ-
ности k корней.

   Упражнения
 1. Покажите, что постоянная аналитическая в круге |z−a| < r функ-
    ция не может иметь тождественно постоянную абсолютную вели-
    чину.

Страницы