Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

26 Глава I . Комплексные числа и функции
7. Для каких z сходится ряд
∞
X
n=0
Ã
z
1 + z
!
n
?
8. Если числа z
1
, z
2
, . . . лежат в угле
−α ≤ arg z ≤ α, α < π/2,
то ряды
z
1
+ z
2
+ ··· и |z
1
| + |z
2
| + ···
либо оба сходятся, либо оба расходятся.
9. Пусть числа z
1
, z
2
, . . . лежат в полуплоскости Re z ≥ 0. Если схо-
дятся оба ряда
z
1
+ z
2
+ . . . и z
2
1
+ z
2
2
+ . . . ,
то сходится также ряд |z
1
| + |z
2
| + . . . .
§5. Экспонента и тригонометрические функции
Один из мотивов введения экспоненциальной функции связан с
решением дифференциального уравнения f
0
(z) = f(z) с начальным
условием f(0) = 1. Полагая
f(z) =
X
a
n
z
n
, f
0
(z) =
X
na
n
z
n−1
,
мы приходим к следующим соотношениям на коэффициенты: a
n−1
= na
n
и a
0
= 1. Индуктивное рассуждение приводит к равенствам a
n
=
1/n!, n = 1, 2, . . . . Таким образом, решение должно определяться сте-
пенным рядом
e
z
=
∞
X
n=0
z
n
n!
.
Из формулы Коши–Адамара и предельного соотношения
n
√
n! → ∞,
при n → ∞, следует сходимость этого ряда во всей комплексной плос-
кости.
26                                   Глава I .         Комплексные числа и функции

 7. Для каких z сходится ряд
                                             ∞ Ã
                                             X      z
                                                         !n
                                                              ?
                                         n=0       1+z

 8. Если числа z1 , z2 , . . . лежат в угле

                              −α ≤ arg z ≤ α,              α < π/2,

       то ряды
                         z1 + z2 + · · ·           и    |z1 | + |z2 | + · · ·
       либо оба сходятся, либо оба расходятся.

 9. Пусть числа z1 , z2 , . . . лежат в полуплоскости Re z ≥ 0. Если схо-
    дятся оба ряда

                          z1 + z2 + . . .          и     z12 + z22 + . . . ,

       то сходится также ряд |z1 | + |z2 | + . . . .

§ 5.     Экспонента и тригонометрические функции

    Один из мотивов введения экспоненциальной функции связан с
решением дифференциального уравнения f 0 (z) = f (z) с начальным
условием f (0) = 1. Полагая
                              X                                X
                    f (z) =       an z n ,         f 0 (z) =       nan z n−1 ,

мы приходим к следующим соотношениям на коэффициенты: an−1 = nan
и a0 = 1. Индуктивное рассуждение приводит к равенствам an =
1/n!, n = 1, 2, . . . . Таким образом, решение должно определяться сте-
пенным рядом
                                       ∞ zn
                                       X
                                  z
                                 e =         .
                                      n=0 n!
                                                             √
Из формулы Коши–Адамара и предельного соотношения n n! → ∞,
при n → ∞, следует сходимость этого ряда во всей комплексной плос-
кости.

Страницы