Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 26 стр.

28                           Глава I .   Комплексные числа и функции

а также основное тригонометрическое тождество:
                         (cos z)2 + (sin z)2 = 1.
Используя теорему сложения для экспоненты, легко выводятся фор-
мулы:
                cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b,
                  sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b.
Из вида разложений sin z и cos z (или просто из определения и фор-
мулы (ez )0 = ez ) следуют формулы дифференцирования:
                 (sin z)0 = cos z,     (cos z)0 = − sin z.
Обычным образом через sin z и cos z определяются другие тригоно-
метрические функции tg z, ctg z, sec z и cosec z. Заметим лишь, что все
они являются рациональными функциями от eiz .
Периодичность. Говорят, что функция f имеет период c, если f (z +
c) = f (z) при всех z ∈ C. Условие на c быть периодом экспоненты
выражается равенством
                           ez+c = ez ⇒ ec = 1.
Полагая c = α + iβ, получаем α = 0 и cos β + i sin β = 1, откуда β =
2kπ, где k — целое. Таким образом, периоды функции ez определяются
равенством
                        c = i2kπ,     k ∈ Z.
С алгебраической точки зрения экспонента устанавливает гомомор-
физм, действующий из аддитивной группы комплексных чисел в
мультипликативную. В частности, w = eiy — гомоморфизм меж-
ду аддитивной группой вещественных чисел и мультипликативной
группой комплексных чисел с абсолютной величиной, равной 1.
    Вместе с экспонентой нужно изучить обратную к ней функцию —
логарифм. Поскольку ez не обращается в нуль, то уравнение w = ez
(его решение — z = ln w) не имеет решения при w = 0. Другими
словами, логарифм нуля не существует. При w 6= 0 уравнение ex+iy =
w эквивалентно системе
                                         w
                      ex = |w|,   eiy =     .
                                        |w|