Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

30 Глава I . Комплексные числа и функции
ln z будет непрерывной в D. Следовательно, ∆w → 0 при ∆z → 0.
Поэтому
dw
dz
= lim
∆z→0
∆w
∆z
= lim
w→0
1
∆z/ ∆w
=
1
dz/dw
=
1
e
w
=
1
z
.
Т. е. ln z является в D аналитической функцией и
(ln z)
0
=
1
z
.
Любая другая непрерывная ветвь ln z в D отличается на аддитивную
константу 2πin и имеет ту же производную: 1/z.
Аналогично выделяются однозначные ветви показательной функ-
ции :
a
z
, a 6= 0.
Упражнения
1. Найдите значения sin i, cos i.
2. Найдите значения тех z, для которых e
z
равно 2, −1, i.
3. Определите все значения 2
i
, i
i
.
30                          Глава I .   Комплексные числа и функции

ln z будет непрерывной в D. Следовательно, ∆w → 0 при ∆z → 0.
Поэтому
          dw       ∆w         1       1     1  1
             = lim    = lim       =       = w = .
          dz  ∆z→0 ∆z   w→0 ∆z/∆w   dz/dw  e   z

Т. е. ln z является в D аналитической функцией и
                                       1
                              (ln z)0 = .
                                       z
Любая другая непрерывная ветвь ln z в D отличается на аддитивную
константу 2πin и имеет ту же производную: 1/z.
    Аналогично выделяются однозначные ветви показательной функ-
ции :
                            az , a 6= 0.

     Упражнения
 1. Найдите значения sin i, cos i.
 2. Найдите значения тех z, для которых ez равно 2, −1, i.
 3. Определите все значения 2i , ii .

Страницы