Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

36 Глава II . Аналитические функции как отображения
Доказательство. Пусть w = f(z) — непрерывная функция, кото-
рая переводит связное множество E в Q. Допустим, что H
1
и H
2
—
открытые множества, удовлетворяющие условиям Q ⊆ H
1
S
H
2
и
Q
T
H
1
T
H
2
= ∅. Нам нужно доказать, что тогда одно из множеств,
Q
T
H
1
или Q
T
H
2
, пусто.
Определим множества E
1
= {z ∈ E : f(z) ∈ H
1
}, E
2
= {z ∈
E : f(z) ∈ H
2
}. В силу сделанных предположений E
1
T
E
2
= ∅ и
E
1
S
E
2
= E. Далее, если z
0
— произвольная точка в E
1
и w
0
= f(z
0
),
то в силу открытости H
1
найдется такое ε > 0, что O(w
0
, ε) ⊆ H
1
.
Согласно непрерывности f найдется такое δ > 0, что |f(z)−f(z
0
)| < ε
при |z − z
0
| < δ, т. е. O(z
0
, δ)
T
E ⊆ E
1
. Таким образом, существует
открытое множество G
1
, для которого G
1
T
E = E
1
. Аналогично уста-
навливается существование открытого множества G
2
, для которого
G
2
T
E = E
2
. Но тогда в силу связности E одно из множеств, E
1
или
E
2
, должно быть пустым. Пусть это будет E
1
. Но с ним будет пустым
множеством Q
T
H
1
.
2
Замечание. Среди многих приложений доказанной теоремы отме-
тим следующие два:
1. Не обращающаяся в нуль непрерывная вещественнозначная фун-
кция, определенная на связном множестве, сохраняет знак.
2. Отрезок и квадрат не являются топологически эквивалентны-
ми.
Упражнения
1. Доказать, что E является связным в том и только в том случае,
если его нельзя представить в виде объединения двух непустых
непересекающихся множеств E
1
и E
2
так, чтобы E
1
T
E
2
= ∅ и
E
1
T
E
2
= ∅.
2. Доказать, что класс связных множеств не изменится, если в опре-
делении связности условие (ii) заменить на G
1
T
G
2
= ∅.
3. Докажите, что замыкание связного множества является связным
множеством.
36           Глава II .   Аналитические функции как отображения

Доказательство. Пусть w = f (z) — непрерывная функция, кото-
рая переводит связное множество E в Q. Допустим, что H1 и H2 —
                                                               S
открытые множества, удовлетворяющие условиям Q ⊆ H1 H2 и
  T     T
Q H1 H2 = ∅. Нам нужно доказать, что тогда одно из множеств,
  T            T
Q H1 или Q H2 , пусто.
      Определим множества E1 = {z ∈ E : f (z) ∈ H1 }, E2 = {z ∈
                                                           T
E : f (z) ∈ H2 }. В силу сделанных предположений E1 E2 = ∅ и
    S
E1 E2 = E. Далее, если z0 — произвольная точка в E1 и w0 = f (z0 ),
то в силу открытости H1 найдется такое ε > 0, что O(w0 , ε) ⊆ H1 .
Согласно непрерывности f найдется такое δ > 0, что |f (z)−f (z0 )| < ε
                                  T
при |z − z0 | < δ, т. е. O(z0 , δ) E ⊆ E1 . Таким образом, существует
                                            T
открытое множество G1 , для которого G1 E = E1 . Аналогично уста-
навливается существование открытого множества G2 , для которого
    T
G2 E = E2 . Но тогда в силу связности E одно из множеств, E1 или
E2 , должно быть пустым. Пусть это будет E1 . Но с ним будет пустым
                 T
множеством Q H1 .
                                                             2

Замечание. Среди многих приложений доказанной теоремы отме-
тим следующие два:
 1. Не обращающаяся в нуль непрерывная вещественнозначная фун-
    кция, определенная на связном множестве, сохраняет знак.
 2. Отрезок и квадрат не являются топологически эквивалентны-
    ми.

  Упражнения
 1. Доказать, что E является связным в том и только в том случае,
    если его нельзя представить в виде объединения двух непустых
                                                      T
    непересекающихся множеств E1 и E2 так, чтобы E1 E2 = ∅ и
       T
    E1 E2 = ∅.
 2. Доказать, что класс связных множеств не изменится, если в опре-
                                                 T
    делении связности условие (ii) заменить на G1 G2 = ∅.
 3. Докажите, что замыкание связного множества является связным
    множеством.

Страницы