ВУЗ:
Составители:
38 Глава II . Аналитические функции как отображения
и направление движения по траектории являются характеристиками
всей кривой, а не отдельно взятого пути из класса эквивалентности.
В частности, кривая называется замкнутой, если ее параметризации
замкнуты, т.е. совпадают начало и конец кривой.
Кривая γ называется жордановой,если параметризация z =
z(t), α ≤ t ≤ β, осуществляет топологическое отображение отрезка
[α, β]. Кривая называется замкнутой жордановой, если параметриза-
ция осуществляет топологическое отображение полуинтервала [α, β)
и z(α) = z( β). Другими словами, замкнутая жордановая кривая —
это топологическое отображение окружности в плоскость.
Определим теперь на множестве кривых две операции. Под сме-
ной ориентации кривой γ с параметризацией z = z(t), α ≤ t ≤ β,
понимается кривая −γ (часто пишут также ”γ
−
”), которая определя-
ется параметризацией z = z(−t), −β ≤ t ≤ −α. Грубо говоря, при
смене ориентации меняется направление обхода.
Далее, если конец кривой γ
1
: z = z
1
(t), α
1
≤ t ≤ β
1
, совпадает с
началом кривой γ
2
: z = z
2
(t), α
2
≤ t ≤ β
2
, то под суммой кривых γ
1
и γ
2
будем понимать кривую γ
1
+ γ
2
с параметризацией
z =
z
1
(α
1
+ 2t(β
1
− α
1
)) при 0 ≤ t ≤ 1/2,
z
2
(α
2
+ (2t − 1)(β
2
− α
2
)) при 1/2 ≤ t ≤ 1.
Очевидным образом (по индукции) определяется конечная сумма кри-
вых. Заметим, что сумма определена не для каждой пары кривых и
не обладает свойством коммутативности. Однако так определенная
операция обладает свойством ассоциативности.
Выделим теперь совокупность гладких кривых. Путь
z = z(t) = x(t) + iy(t), α ≤ t ≤ β,
называется гладким, если функции x(t) и y(t) являются непрерыв-
но дифф еренцируемыми на [α, β] и z
0
(t) = x
0
(t) + iy
0
(t) 6= 0 при
t ∈ [α , β]. Эквивалентность гладких путей определяется посредством
замены τ = τ (t), которая непрерывно дифференцируема и τ
0
(t) > 0
при всех t. Производные в концевых точках, например z
0
(α), пони-
маются как односторонние . Класс эквивалентности гладких путей
называется гладкой кривой.
38 Глава II . Аналитические функции как отображения и направление движения по траектории являются характеристиками всей кривой, а не отдельно взятого пути из класса эквивалентности. В частности, кривая называется замкнутой, если ее параметризации замкнуты, т.е. совпадают начало и конец кривой. Кривая γ называется жордановой,если параметризация z = z(t), α ≤ t ≤ β, осуществляет топологическое отображение отрезка [α, β]. Кривая называется замкнутой жордановой, если параметриза- ция осуществляет топологическое отображение полуинтервала [α, β) и z(α) = z(β). Другими словами, замкнутая жордановая кривая — это топологическое отображение окружности в плоскость. Определим теперь на множестве кривых две операции. Под сме- ной ориентации кривой γ с параметризацией z = z(t), α ≤ t ≤ β, понимается кривая −γ (часто пишут также ”γ − ”), которая определя- ется параметризацией z = z(−t), −β ≤ t ≤ −α. Грубо говоря, при смене ориентации меняется направление обхода. Далее, если конец кривой γ1 : z = z1 (t), α1 ≤ t ≤ β1 , совпадает с началом кривой γ2 : z = z2 (t), α2 ≤ t ≤ β2 , то под суммой кривых γ1 и γ2 будем понимать кривую γ1 + γ2 с параметризацией z1 (α1 + 2t(β1 − α1 )) при 0 ≤ t ≤ 1/2, z= z2 (α2 + (2t − 1)(β2 − α2 )) при 1/2 ≤ t ≤ 1. Очевидным образом (по индукции) определяется конечная сумма кри- вых. Заметим, что сумма определена не для каждой пары кривых и не обладает свойством коммутативности. Однако так определенная операция обладает свойством ассоциативности. Выделим теперь совокупность гладких кривых. Путь z = z(t) = x(t) + iy(t), α ≤ t ≤ β, называется гладким, если функции x(t) и y(t) являются непрерыв- но дифференцируемыми на [α, β] и z 0 (t) = x0 (t) + iy 0 (t) 6= 0 при t ∈ [α, β]. Эквивалентность гладких путей определяется посредством замены τ = τ (t), которая непрерывно дифференцируема и τ 0 (t) > 0 при всех t. Производные в концевых точках, например z 0 (α), пони- маются как односторонние. Класс эквивалентности гладких путей называется гладкой кривой.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »