Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 36 стр.

UptoLike

Составители: 

38 Глава II . Аналитические функции как отображения
и направление движения по траектории являются характеристиками
всей кривой, а не отдельно взятого пути из класса эквивалентности.
В частности, кривая называется замкнутой, если ее параметризации
замкнуты, т.е. совпадают начало и конец кривой.
Кривая γ называется жордановой,если параметризация z =
z(t), α t β, осуществляет топологическое отображение отрезка
[α, β]. Кривая называется замкнутой жордановой, если параметриза-
ция осуществляет топологическое отображение полуинтервала [α, β)
и z(α) = z( β). Другими словами, замкнутая жордановая кривая
это топологическое отображение окружности в плоскость.
Определим теперь на множестве кривых две операции. Под сме-
ной ориентации кривой γ с параметризацией z = z(t), α t β,
понимается кривая γ (часто пишут также γ
”), которая определя-
ется параметризацией z = z(t), β t α. Грубо говоря, при
смене ориентации меняется направление обхода.
Далее, если конец кривой γ
1
: z = z
1
(t), α
1
t β
1
, совпадает с
началом кривой γ
2
: z = z
2
(t), α
2
t β
2
, то под суммой кривых γ
1
и γ
2
будем понимать кривую γ
1
+ γ
2
с параметризацией
z =
z
1
(α
1
+ 2t(β
1
α
1
)) при 0 t 1/2,
z
2
(α
2
+ (2t 1)(β
2
α
2
)) при 1/2 t 1.
Очевидным образом (по индукции) определяется конечная сумма кри-
вых. Заметим, что сумма определена не для каждой пары кривых и
не обладает свойством коммутативности. Однако так определенная
операция обладает свойством ассоциативности.
Выделим теперь совокупность гладких кривых. Путь
z = z(t) = x(t) + iy(t), α t β,
называется гладким, если функции x(t) и y(t) являются непрерыв-
но дифф еренцируемыми на [α, β] и z
0
(t) = x
0
(t) + iy
0
(t) 6= 0 при
t [α , β]. Эквивалентность гладких путей определяется посредством
замены τ = τ (t), которая непрерывно дифференцируема и τ
0
(t) > 0
при всех t. Производные в концевых точках, например z
0
(α), пони-
маются как односторонние . Класс эквивалентности гладких путей
называется гладкой кривой.
38            Глава II .    Аналитические функции как отображения

и направление движения по траектории являются характеристиками
всей кривой, а не отдельно взятого пути из класса эквивалентности.
В частности, кривая называется замкнутой, если ее параметризации
замкнуты, т.е. совпадают начало и конец кривой.
     Кривая γ называется жордановой,если параметризация z =
z(t), α ≤ t ≤ β, осуществляет топологическое отображение отрезка
[α, β]. Кривая называется замкнутой жордановой, если параметриза-
ция осуществляет топологическое отображение полуинтервала [α, β)
и z(α) = z(β). Другими словами, замкнутая жордановая кривая —
это топологическое отображение окружности в плоскость.
     Определим теперь на множестве кривых две операции. Под сме-
ной ориентации кривой γ с параметризацией z = z(t), α ≤ t ≤ β,
понимается кривая −γ (часто пишут также ”γ − ”), которая определя-
ется параметризацией z = z(−t), −β ≤ t ≤ −α. Грубо говоря, при
смене ориентации меняется направление обхода.
     Далее, если конец кривой γ1 : z = z1 (t), α1 ≤ t ≤ β1 , совпадает с
началом кривой γ2 : z = z2 (t), α2 ≤ t ≤ β2 , то под суммой кривых γ1
и γ2 будем понимать кривую γ1 + γ2 с параметризацией
              
                 z1 (α1 + 2t(β1 − α1 ))       при 0 ≤ t ≤ 1/2,
         z=
                  z2 (α2 + (2t − 1)(β2 − α2 )) при 1/2 ≤ t ≤ 1.

Очевидным образом (по индукции) определяется конечная сумма кри-
вых. Заметим, что сумма определена не для каждой пары кривых и
не обладает свойством коммутативности. Однако так определенная
операция обладает свойством ассоциативности.
    Выделим теперь совокупность гладких кривых. Путь

                   z = z(t) = x(t) + iy(t),   α ≤ t ≤ β,

называется гладким, если функции x(t) и y(t) являются непрерыв-
но дифференцируемыми на [α, β] и z 0 (t) = x0 (t) + iy 0 (t) 6= 0 при
t ∈ [α, β]. Эквивалентность гладких путей определяется посредством
замены τ = τ (t), которая непрерывно дифференцируема и τ 0 (t) > 0
при всех t. Производные в концевых точках, например z 0 (α), пони-
маются как односторонние. Класс эквивалентности гладких путей
называется гладкой кривой.