Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

40 Глава II . Аналитические функции как отображения
имеющие в ней общую касательную. Более того, две кривые γ
1
и
γ
2
, образующие в точке z
0
угол θ, переходят в кривые γ
∗
1
и γ
∗
2
, кото-
рые пересекаются в точке w
0
под тем же углом θ (с учетом направ-
ления отсчета). Это свойство называют консерватизмом углов или
конформностью отображения w = f(z) в точке z
0
.
Выяснение геометрического смысла модуля производной также
приводит к некоторому свойству отображения. Из равенства
lim
z→z
0
|f(z) − f(z
0
)|
|z − z
0
|
= |f
0
(z
0
)|
видно, что при отображении w = f(z) бесконечно малый элемент
длины в точке z
0
растягивается или сжимается в |f
0
(z
0
)| раз. Други-
ми словами, |f
0
(z
0
)| является коэффициентом искажения масштаба на
кривых в точке z
0
, и этот коэффициент не зависит от направления.
Вообще говоря, этот коэффициент меняется от точки к точке.
Пусть теперь
w
=
f
(
z
)
определена в области
D
и непрерывно
дифференцируема в вещественном смысле, т. е. существуют и не-
прерывны в D частные производные ∂f/∂x и ∂f/∂y. Рассмотрим
вопрос, какими свойствами будет обладать f, если предположить
конформность отображения w = f(z) или постоянство искажения
масштаба. При сделанных предположениях производную от функции
w(t) = f(z(t)) можно представить в виде
w
0
(t
0
) =
∂f
∂x
(z
0
)x
0
(t
0
) +
∂f
∂y
(z
0
)y
0
(t
0
).
В терминах z
0
(t
0
) = x
0
(t
0
) + iy
0
(t
0
) это равенство принимает вид
w
0
(t
0
) =
1
2
Ã
∂f
∂x
− i
∂f
∂y
!
z
0
(t
0
) +
1
2
Ã
∂f
∂x
+ i
∂f
∂y
!
z
0
(t
0
),
откуда получаем
w
0
(t
0
)
z
0
(t
0
)
=
1
2
Ã
∂f
∂x
− i
∂f
∂y
!
+
1
2
Ã
∂f
∂x
+ i
∂f
∂y
!
z
0
(t
0
)
z
0
(t
0
)
. (3)
Консерватизм углов отображения w = f(z) в точке z
0
означает, что
arg
w
0
(t
0
)
z
0
(t
0
)
40               Глава II .       Аналитические функции как отображения

имеющие в ней общую касательную. Более того, две кривые γ1 и
γ2 , образующие в точке z0 угол θ, переходят в кривые γ1∗ и γ2∗ , кото-
рые пересекаются в точке w0 под тем же углом θ (с учетом направ-
ления отсчета). Это свойство называют консерватизмом углов или
конформностью отображения w = f (z) в точке z0 .
      Выяснение геометрического смысла модуля производной также
приводит к некоторому свойству отображения. Из равенства
                                  |f (z) − f (z0 )|
                          lim
                          z→z
                                                    = |f 0 (z0 )|
                                0     |z − z0 |
видно, что при отображении w = f (z) бесконечно малый элемент
длины в точке z0 растягивается или сжимается в |f 0 (z0 )| раз. Други-
ми словами, |f 0 (z0 )| является коэффициентом искажения масштаба на
кривых в точке z0 , и этот коэффициент не зависит от направления.
Вообще говоря, этот коэффициент меняется от точки к точке.
    Пусть теперь w = f (z) определена в области D и непрерывно
дифференцируема в вещественном смысле, т. е. существуют и не-
прерывны в D частные производные ∂f /∂x и ∂f /∂y. Рассмотрим
вопрос, какими свойствами будет обладать f , если предположить
конформность отображения w = f (z) или постоянство искажения
масштаба. При сделанных предположениях производную от функции
w(t) = f (z(t)) можно представить в виде
                                  ∂f                 ∂f
                     w0 (t0 ) =      (z0 )x0 (t0 ) +    (z0 )y 0 (t0 ).
                                  ∂x                 ∂y
В терминах z 0 (t0 ) = x0 (t0 ) + iy 0 (t0 ) это равенство принимает вид
                        Ã               !               Ã                 !
            0        1 ∂f    ∂f 0         1 ∂f    ∂f 0
           w (t0 ) =      −i    z (t0 ) +      +i    z (t0 ),
                     2 ∂x    ∂y           2 ∂x    ∂y
откуда получаем
                            Ã               !       Ã               !
                w0 (t0 )    1 ∂f     ∂f   1 ∂f     ∂f z 0 (t0 )
                          =      − i    +      + i              .             (3)
                z 0 (t0 )   2 ∂x     ∂y   2 ∂x     ∂y z 0 (t0 )
Консерватизм углов отображения w = f (z) в точке z0 означает, что
                                                   
                                           w0 (t0 ) 
                                      arg 0
                                         
                                           z (t0 )

Страницы