Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

42 Глава II . Аналитические функции как отображения
Любое дробно–линейное преобразование записывается в виде
L(z) =
az + b
cz + d
, (1)
где a, b, c, d — комплексные числа, называемые коэффициентами
дробно–линейного преобразования, удовлетворяют условию
ad − bc 6= 0, (2)
Это условие отвечает за невырожденность отображения w = L(z).
Действительно, числа −b/a и −d/c являются нулями числителя и
знаменателя дроби (1). Условие (2) означает, что это различные чис-
ла.
Как невырожденная рациональная функция первого порядка
дробно–линейное преобразование L осуществляет топологическое
отображение расширенной комплексной плоскости C на себя, посколь-
ку для любого ζ ∈ C уравнение L(z) = ζ имеет в C единственное
решение. При этом L(∞) = a/c и L(−d/c) = ∞. Замечая также, что
L
0
(z) =
ad − bc
(cz + d)
2
,
приходим к выводу о конформности L в C\{−d/c}.
Отметим теперь свойства совокупности всех дробно–линейных
преобразований. Если
L
1
(z) =
a
1
z + b
1
c
1
z + d
1
, L
2
(z) =
a
2
z + b
2
c
2
z + d
2
— произвольные два дробно-линейные преобразования, то их компо-
зиция
L(z) = L
1
◦ L
2
(z) =
az + b
cz + d
также является дробно-линейным преобразованием и ad−bc = (a
1
d
1
−
b
1
c
1
)(a
2
d
2
− b
2
c
2
). Таким образом, дробно-линейные преобразования
замкнуты относительно операции композиции. Кроме того, обратная
функция
z = L
−1
(w) =
dw − b
−cw + a
42           Глава II .     Аналитические функции как отображения

     Любое дробно–линейное преобразование записывается в виде
                                         az + b
                              L(z) =            ,                   (1)
                                         cz + d
где a, b, c, d — комплексные числа, называемые коэффициентами
дробно–линейного преобразования, удовлетворяют условию

                                ad − bc 6= 0,                       (2)

Это условие отвечает за невырожденность отображения w = L(z).
Действительно, числа −b/a и −d/c являются нулями числителя и
знаменателя дроби (1). Условие (2) означает, что это различные чис-
ла.
    Как невырожденная рациональная функция первого порядка
дробно–линейное преобразование L осуществляет топологическое
отображение расширенной комплексной плоскости C на себя, посколь-
ку для любого ζ ∈ C уравнение L(z) = ζ имеет в C единственное
решение. При этом L(∞) = a/c и L(−d/c) = ∞. Замечая также, что
                                          ad − bc
                             L0 (z) =              ,
                                         (cz + d)2

приходим к выводу о конформности L в C\{−d/c}.
    Отметим теперь свойства совокупности всех дробно–линейных
преобразований. Если
                           a1 z + b1                   a2 z + b2
                L1 (z) =             ,      L2 (z) =
                           c1 z + d1                   c2 z + d 2
 — произвольные два дробно-линейные преобразования, то их компо-
зиция
                                                 az + b
                            L(z) = L1 ◦ L2 (z) =
                                                 cz + d
также является дробно-линейным преобразованием и ad−bc = (a1 d1 −
b1 c1 )(a2 d2 − b2 c2 ). Таким образом, дробно-линейные преобразования
замкнуты относительно операции композиции. Кроме того, обратная
функция
                                              dw − b
                             z = L−1 (w) =
                                             −cw + a

Страницы