Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 42 стр.

44             Глава II .       Аналитические функции как отображения

1, 2, 3. Требуемое отображение определяется из соотношения

                        (z, z1 , z2 , z3 ) = (w, w1 , w2 , w3 ).

Определение. Под ангармоническим отношением (z1 , z2 , z3 , z4 ) че-
тырех различных точек z1 , z2 , z3 и z4 понимается образ точки z1 при
отображении ее посредством дробно-линейного преобразования, ко-
торое переводит точки z2 , z3 и z4 в 1,0 и ∞ соответственно.

    Важность ангармонического отношения обусловлена уже тем,
что оно является инвариантом для дробно–линейных преобразований.

Теорема 2. Пусть z1 , z2 , z3 , z4 — четыре различные точки и L —
дробно–линейное преобразование. Тогда

                       (L(z1 ), . . . , L(z4 )) = (z1 , . . . , z4 ).

Доказательство. Пусть T (z) = (z1 , z2 , z3 , z4 ). Тогда T ◦ L−1 перево-
дит точки L(z2 ), L(z3 ) и L(z4 ) соответственно в 1,0 и ∞. Следователь-
но,

     (L(z1 ), L(z2 ), L(z3 ), L(z4 )) = T ◦ L−1 = T (z1 ) = (z1 , z2 , z3 , z4 ).

                                                                          2
Круговое свойство. Отметим вначале, что окружности на сфере
Римана при стереографической проекции соответствует на комп-
лексной плоскости окружность или прямая. Это приводит к мысли
о целесообразности рассматривать прямую в C как окружность, про-
ходящую через бесконечно удаленную точку. Поэтому в дальнейшем
под окружностью в C будем понимать такое расширенное ее значение.

Предложение 1. Прообразом вещественной оси для любого дроб-
но–линейного преобразования является окружность в C.

Доказательство. Пусть L определяется равенством (1) с условием
(2) на его коэффициенты. Нам нужно найти множество точек z, для
которых Im L(z) = 0, т. е. удовлетворяющих условию

                               az + b a z + b
                                     −        = 0.
                               cz + d c z + d