Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 44 стр.

46            Глава II .    Аналитические функции как отображения

к правой части тождества показывает, что L(z) пробегает окруж-
ность, проходящую через L(z1 ), L(z2 )L(z3 ) и L(z3 ), когда z пробегает
C.                                                            2
Принцип симметрии. Если дробно–линейное преобразование опре-
деляется вещественными коэффициентами, то оно переводит вещест-
венную ось на себя, а точки z и z, симметричные относительно ве-
щественной оси, в симметричные. В виду кругового свойства можно
ожидать выполнения этого и в более общей ситуации. Чтобы рас-
суждения были одинаково применимыми к прямой и окружности, ес-
тественно использовать ангармоническое отношение. Как видно из
предложения 2, в его терминах легко определяется попадание те-
кущей точки на окружность, определяемую тремя своими точками.
Оказывается, ангармоническое отношение отражает и более точное
расположение точек относительно окружности.

Предложение 3. Пусть z1 , z2 , z3 — три различные точки в C и
C — окружность (или прямая), проходящая через них. Тогда точки
z и z ∗ симметричны относительно C в том и только в том случае,
если выполняется соотношение
                      (z ∗ , z1 , z2 , z3 ) = (z, z1 , z2 , z3 ).              (4)

Доказательство. Поскольку T (z) = (z, z1 , z2 , z3 ) является взаимно-
однозначным отображением C на себя, то достаточно показать, что
условие (4) влечет симметрию точек z и z ∗ . Выделим в доказательстве
два случая.
    1) Пусть С — прямая. В этом случае (z1 − z2 )/(z1 − z3 ) вещест-
венно и условие (4) принимает вид:
                              z ∗ − z2   z − z2
                                ∗
                                       =        .
                              z − z3     z − z3
Но тогда из равенств
              z ∗ − z2         z − z2                |z ∗ − z2 |   |z − z2 |
           arg ∗       = − arg        ,                 ∗
                                                                 =
              z − z3           z − z3                |z − z3 |     |z − z3 |
следует подобие треугольников с вершинами z ∗ , z2 , z3 и z, z2 , z3 . По-
скольку у них еще общая сторона, то они равны. Отсюда сразу же
следует симметричность z ∗ и z.