Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 47 стр.

§ 4.    Элементарные конформные отображения                      49

   Упражнения
 1. Докажите, что отображение
                                              
                                         a b
                              L −→               ,
                                         c d
       действующее из группы всех дробно–линейных преобразований в
       группу матриц 2 × 2 относительно умножения, является гомомор-
       физмом.
 2. Покажите, что отображения вида

                       w = z + a,   w = bz,        w = 1/z,

       где a и b 6= 0 — комплексные числа, можно рассматривать как
       систему образующих в группе всех дробно–линейных преобразо-
       ваний.
 3. Докажите, что всякое дробно–линейное преобразование, которое
    переводит вещественную ось в себя, можно записать с веществен-
    ными коэффициентами.
 4. Пусть дробно–линейное преобразование переводит пару концент-
    рических окружностей в другую пару концентрических окруж-
    ностей. Докажите, что отношение радиусов окружностей при
    этом сохраняется.
 5. Найдите дробно–линейное преобразование, которое переводит
    |z| = 1 и Re z = 2 в концентрические окружности. Чему рав-
    няется отношение их радиусов ?

§ 4.    Элементарные конформные отображения

    Конформное отображение, ассоциированное с аналитической
функцией, позволяет получить наглядное представление о ней, по-
добно графику в случае функции вещественного пременного. Кроме
того, во многие области математики теория функции комплексного
переменного входит через конформное отображение. Одной из наибо-
лее важных проблем, возникающих при этом, является задача отыс-
кания конформного отображения одной области на другую. Чтобы