Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 52 стр.

54                                                Глава III .               Комплексное интегрирование

где f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy, а ds — элемент длины. В
случае кусочно–гладкой кривой имеем также
     Z                    Zβ                                        Z                       Zβ
                                          0
         f (z) dz =            f (z(t))z (t) dt,                        f (z) |dz| =             f (z(t))|z 0 (t)| dt.
     γ                    α                                         γ                       α

Из свойств криволинейных интегралов сразу же следуют аналогич-
ные свойства введенных интегралов:
          Z                                    Z                    Z
              (af + bg) dz = a                     f dz + b                 g dz (линейность),
          γ       Z                      Z γ               Z        γ
                           f dz =                 f dz +        f dz             (аддитивность).
                γ1 +γ2                   γ1                γ2

В этих двух равенствах dz можно заменить на |dz|. Однако
                      Z                       Z                         Z               Z
                              f dz = −             f dz,                     f |dz| =       f |dz|.
                      −γ                      γ                     −γ                  γ

Применяя неравенство треугольника к интегральным суммам, полу-
чаем следующее неравенство:
                                    ¯               ¯
                                    ¯Z              ¯           Z
                                    ¯               ¯
                                    ¯
                                    ¯
                                    ¯
                                         f (z) dz ¯¯¯      ≤        |f (z)| · |dz|.
                                    ¯γ              ¯           γ

Заметим, что при f (z) ≡ 1 последний интеграл равняется длине кри-
вой γ, т. е.             Z
                           |dz| = length(γ).
                                           γ
      Другой аспект интегрального исчисления связан, как и в вещест-
венном анализе, с рассмотрением интегрирования как операции, об-
ратной к дифференцированию. В связи с этим аналитическую в об-
ласти D функцию F будем называть первообразной функции f , если
F 0 (z) = f (z) для всех z ∈ D. Другими словами, f (z) dz является пол-
ным дифференциалом в области D.
      Эти две концепции интегрирования связывает следующая теоре-
ма.
Теорема 1. Пусть f — непрерывная в области D функция. Тогда
интеграл                 Z
                           f (z) dz
                                                      γ