Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 54 стр.

56                          Глава III .        Комплексное интегрирование

                         ε
                    ≤       length ([z, z + ζ]) = ε.
                        |ζ|
                                                                2
   В качестве приложения доказанной теоремы отметим, что для
любой замкнутой кривой γ и целого неотрицательного n
                            Z
                                (z − a)n dz = 0.
                            γ

Действительно, функция (z − a)n+1 /(n + 1) является первообразной
подынтегральной функции во всей комплексной плоскости, а в си-
лу замкнутости γ ее начальная и конечная точки совпадают. Если
n отрицательно, но не равно −1, то аналогичный результат имеет
место для любой замкнутой кривой γ, не проходящей через точку a,
поскольку в области C\{a} приведенная выше функция является пер-
вообразной. При n = −1 это уже выполняется не всегда. Рассмотрим
круг ∆ = {z : |z − a| < r}. Через ∂∆ обозначим положительно ори-
ентированную границу этого круга. В дальнейшем в случае таких
простых областей, как круг, треугольник, прямоугольник, будем под
положительно ориентированной границей понимать окружность или
соответствующую ломаную, которая однократно обходится так, что
ограниченная ею область остается слева. Часто такое определение
положительно ориентированной границы распространяют вплоть до
жордановых областей, хотя в этом случае оно лишено смысла.
    Итак, параметризацию ∂∆ : z = a + reit , 0 ≤ t ≤ 2π, мож-
но рассматривать как представитель положительно ориентированной
границы круга ∆. Тогда z 0 = ireit dt и
                        Z    dz       Z2π
                                =           i dt = 2πi.
                     ∂∆
                            z−a       0

В случае когда кривая γ содержится в некоторой полуплоскости, не
содержащей точки a, имеет место равенство:
                                Z    dz
                                        = 0,
                                γ   z−a

поскольку в этой полуплоскости можно выделить однозначную ветвь
ln(z − a), которая будет первообразной подынтегральной функции.