Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 57 стр.

§ 2.   Теорема Коши в выпуклой области                               59

Соединяя середины сторон треугольника ∆, разобьем его на четыре
конгруентных треугольника ∆(1) , . . . ∆(4) . Очевидно, что
                    η(∆) = η(∆(1) ) + . . . + η(∆(4) ),
поскольку интегрирования вдоль общих сторон взаимно уничтожа-
ются. Из этого равенства следует, что найдется среди ∆(1) , . . . , ∆(4)
треугольник, обозначим его ∆1 , для которого |η(∆1 )| ≥ 41 |η(∆)|. Те-
                                                            (1)      (4)
перь разобьем ∆1 на четыре конгруентных треугольника ∆1 , . . . , ∆1
и выберем из них ∆2 так, чтобы выполнялось неравенство |η(∆2 )| ≥
1
4 |η(∆1 )|. Продолжая этот процесс, получим последовательность вло-
женных треугольников ∆ ⊃ ∆1 ⊃ ∆2 ⊃ . . . удовлетворяющих условию
|η(∆n )| ≥ 14 |η(∆n−1 )|. Следовательно, при всех натуральных n
                                      1
                           |η(∆n )| ≥    |η(∆)|.               (1)
                                      4n
Легко видеть, что центры треугольников ∆n образуют сходящуюся
последовательность и в силу замкнутости треугольников мы получа-
ем существование точки z ∗ ∈ ∆, которая принадлежит всем треуголь-
никам последовательности.
     Для произвольного ε > 0 выберем δ > 0 так, чтобы окрестность
O(z , δ) содержалась в области D и при z ∈ O(z ∗ , δ) выполнялось
    ∗

неравенство          ¯                          ¯
                     ¯             ∗            ¯
                     ¯ f (z) − f (z )     0 ∗ ¯¯
                     ¯
                     ¯                − f  (z ) ¯ < ε.         (2)
                     ¯     z − z∗               ¯

Поскольку периметры треугольников ∆n связаны с периметром ис-
ходного треугольника соотношением
                                      1
                                        λ,
                           length(∂∆n ) =
                                     2n
где λ = length(∂∆), то найдется такой номер n, что ∆n ⊂ O(z ∗ , δ).
Заметим также, что
                      Z                  Z
                           dz = 0,            z dz = 0,
                     ∂∆n                ∂∆n

поскольку dz и z dz являются полными дифференциалами в C. Но
тогда                Z
            η(∆n ) =   [f (z) − f (z ∗ ) − (z − z ∗ )f 0 (z ∗ )] dz
                     ∂∆n