Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 60 стр.

62                                 Глава III .       Комплексное интегрирование

C другой стороны, в каждом круге ∆k можно выделить однозначную
ветвь функции ln(z − a) и
                               ¯                 ¯
             Z             ¯              ¯
                   dz      ¯ z(tk ) − a ¯            z(tk ) − a
                      = ln ¯
                           ¯              ¯ + i arg
                                          ¯                      .
             γk   z−a      ¯ z(tk−1 ) − a ¯         z(tk−1 ) − a
Выражение в правой части этого равенства не зависит от выбора
ветви ln(z − a) в круге ∆k , а мнимая часть его равна приращению
(в радианной мере) угла, который описывает вектор z − a на дуге
γk . Суммируя эти равенства по k от 1 до n, получаем чисто мнимое
число, которое выражает полное приращение угла поворота вектора
z − a на всей кривой γ. Учитывая нормирующий множитель в опреде-
лении J(γ, a), приходим к выводу, что индекс точки a относительно
кривой γ выражает число оборотов вектора, соединяющего a с точкой
z(t), когда она обходит кривую γ. Отсюда следует, в частности, что
индекс принимает только целочисленные значения.
      Отметим теперь другие свойства индекса. Непосредственно из
определения следует, что
                             J(−γ, a) = −J(γ, a).
Теорема 1. Как функция точки a индекс J(γ, a) является посто-
янным в каждой компоненте связности множества C \ γ и обраща-
ется в нуль во внешней компоненте связности.
Доказательство. Пусть две точки a и b принадлежат одной компо-
ненте связности множества C \ γ. Тогда в этой компоненте связности
их можно соединить ломаной. Таким образом, первая часть утверж-
дения будет доказана, если мы покажем, что J(γ, a) = J(γ, b) в случае,
когда отрезок [a, b] не пересекается с γ.
    Поскольку отображение w = (z − a)/(z − b) переводит внешность
                        −
отрезка [a, b] на C \ R , то во внешности этого отрезка выделяется
                                z−a
однозначная ветвь функции ln         . При этом
                                z−b
                         Ã            !0
                             z−a                1   1
                          ln               =      −
                             z−b               z−a z−b
и, следовательно,
                         Z Ã    1   1
                                                     !
                                  −    dz = 0,
                         γ     z−a z−b