Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

64 Глава III . Комплексное интегрирование
в силе. С другой стороны, считая область произвольной, будем ис-
кать системы кривых, на которых результат интегрирования любой
аналитической функции будет нулем.
Вначале рассмотрим расширение понятия кривой в рамках ин-
тегрирования. В качестве отправного пункта возьмем равенство
Z
γ
1
+...+γ
n
f(z) dz =
Z
γ
1
f(z) dz + . . . +
Z
γ
2
f(z) dz, (1)
которое имеет место в случае, когда γ
1
, . . . , γ
n
, образуют разбиение
кривой γ = γ
1
+. . .+γ
n
. Заметим, что правая часть в (1) имеет смысл и
тогда, когда γ
1
, . . . , γ
n
— произвольная совокупность кривых. В этом
случае формальную сумму
γ
1
+ γ
2
+ . . . + γ
n
= γ (2)
назовем цепью. Очевидно, что различные формальные суммы (2) мо-
гут представлять одну и ту же цепь. Другими словами, под цепью
следует понимать класс эквивалентных ф ормальных сумм (2), а эк-
вивалентными читать те цепи, которые дают одно и то же значение
интегралу (1) при любой непрерывной функции f. Очевидно, что сле-
дующие операции не выводят за класс эквивалентности:
(i) перестановка двух кривых γ
i
и γ
j
;
(ii) разбиение кривой на дуги и объединение дуг в одну общую кри-
вую;
(iii) аннулирование двух противоположно ориентированных дуг.
Очевидным образом определяется сумма двух цепей. Это дости-
гается соединением двух сумм в одну общую сумму. В случае суммы
эквивалентных цепей удобно обозначить результат как кратное. В
такой терминологии каждую цепь можно представить в виде
γ = m
1
γ
1
+ . . . + m
n
γ
n
, (3)
где m
j
— положительные целые, а γ
j
— различные кривые. Для про-
тивоположно ориентированных кривых можно писать
m(−γ) = −mγ,
64                               Глава III .        Комплексное интегрирование

в силе. С другой стороны, считая область произвольной, будем ис-
кать системы кривых, на которых результат интегрирования любой
аналитической функции будет нулем.
    Вначале рассмотрим расширение понятия кривой в рамках ин-
тегрирования. В качестве отправного пункта возьмем равенство
                 Z                     Z                         Z
                          f (z) dz =        f (z) dz + . . . +        f (z) dz,   (1)
             γ1 +...+γn                γ1                        γ2

которое имеет место в случае, когда γ1 , . . . , γn , образуют разбиение
кривой γ = γ1 +. . .+γn . Заметим, что правая часть в (1) имеет смысл и
тогда, когда γ1 , . . . , γn — произвольная совокупность кривых. В этом
случае формальную сумму

                              γ1 + γ2 + . . . + γn = γ                            (2)

назовем цепью. Очевидно, что различные формальные суммы (2) мо-
гут представлять одну и ту же цепь. Другими словами, под цепью
следует понимать класс эквивалентных формальных сумм (2), а эк-
вивалентными читать те цепи, которые дают одно и то же значение
интегралу (1) при любой непрерывной функции f . Очевидно, что сле-
дующие операции не выводят за класс эквивалентности:
 (i) перестановка двух кривых γi и γj ;
(ii) разбиение кривой на дуги и объединение дуг в одну общую кри-
     вую;
(iii) аннулирование двух противоположно ориентированных дуг.
    Очевидным образом определяется сумма двух цепей. Это дости-
гается соединением двух сумм в одну общую сумму. В случае суммы
эквивалентных цепей удобно обозначить результат как кратное. В
такой терминологии каждую цепь можно представить в виде

                             γ = m1 γ1 + . . . + mn γn ,                          (3)

где mj — положительные целые, а γj — различные кривые. Для про-
тивоположно ориентированных кривых можно писать

                                 m(−γ) = −mγ,

Страницы