ВУЗ:
Составители:
70 Глава III . Комплексное интегрирование
посвятить периферийным с точки зрения предмета исследований во-
просам. В контексте наших рассмотрений легко выделить классичес-
кий случай путем введения следующего понятия.
Определение. Будем говорить, что цикл γ ограничивает область
D, если индекс J(γ, a) определен и равен 1 для любой точки a ∈ D и
либо не определен, либо равен нулю для точек a 6∈ D.
Заметим, что если γ ограничивает D и D ∪ γ содержится в более
широкой области D
0
, то γ ∼ 0(mod D
0
).
Теорема 3. Пусть цикл γ ограничивает область D и f — анали-
тическая на множестве D ∪ γ функция. Тогда
Z
γ
f(z) dz = 0.
§5. Интегральная формула Коши и некоторые ее следствия
Теорема 1. Пусть f — аналитическая в области D функция и γ —
цикл гомологичный нулю относительно области D . Тогда для любой
точки a ∈ D \ γ выполняется равенство
J(γ, a) · f(a) =
1
2πi
Z
γ
f(z) dz
z − a
. (1)
Доказательство. Поскольку D \γ является открытым множеством,
то для достаточно малых r > 0 круг ∆ = {z : |z −a| ≤ r} содержится
в D \ γ. Легко видеть, что цикл γ − J(γ, a) · ∂∆ будет гомологичен
нулю относительно проколотой области D \{a}. Заметим также, что
в проколотой области функция f(z)/(z − a) является аналитической,
и применяя теорему Коши, получим
1
2πi
Z
γ
f(z) dz
z − a
= J(γ, a) ·
1
2πi
Z
∂∆
f(z) dz
z − a
. (2)
Однако
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
2πi
Z
∂∆
f(z) dz
z − a
− f(a)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
1
2π
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Z
∂∆
f(z) − f(a)
z − a
dz
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤ r · max
z∈∂∆
¯
¯
¯
¯
¯
¯
f(z) − f(a)
z − a
¯
¯
¯
¯
¯
¯
70 Глава III . Комплексное интегрирование посвятить периферийным с точки зрения предмета исследований во- просам. В контексте наших рассмотрений легко выделить классичес- кий случай путем введения следующего понятия. Определение. Будем говорить, что цикл γ ограничивает область D, если индекс J(γ, a) определен и равен 1 для любой точки a ∈ D и либо не определен, либо равен нулю для точек a 6∈ D. Заметим, что если γ ограничивает D и D ∪ γ содержится в более широкой области D0 , то γ ∼ 0(mod D0 ). Теорема 3. Пусть цикл γ ограничивает область D и f — анали- тическая на множестве D ∪ γ функция. Тогда Z f (z) dz = 0. γ § 5. Интегральная формула Коши и некоторые ее следствия Теорема 1. Пусть f — аналитическая в области D функция и γ — цикл гомологичный нулю относительно области D. Тогда для любой точки a ∈ D \ γ выполняется равенство 1 Z f (z) dz J(γ, a) · f (a) = . (1) 2πi γ z − a Доказательство. Поскольку D \ γ является открытым множеством, то для достаточно малых r > 0 круг ∆ = {z : |z − a| ≤ r} содержится в D \ γ. Легко видеть, что цикл γ − J(γ, a) · ∂∆ будет гомологичен нулю относительно проколотой области D \ {a}. Заметим также, что в проколотой области функция f (z)/(z − a) является аналитической, и применяя теорему Коши, получим 1 Z f (z) dz 1 Z f (z) dz = J(γ, a) · . (2) 2πi γ z − a 2πi ∂∆ z − a Однако ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ 1 Z ¯ f (z) dz ¯ 1 ¯ f (z) − f (a) ¯ ¯ f (z) − f (a) ¯¯¯ ¯ ¯ 2πi − f (a)¯¯¯ = ¯ ¯ ¯ dz ¯¯¯ ≤r· max ¯¯ ¯ ¯ ∂∆ z−a ¯ 2π ¯∂∆ z−a ¯ z∈∂∆ ¯ z −a ¯
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »