Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 68 стр.

70                                    Глава III .        Комплексное интегрирование

посвятить периферийным с точки зрения предмета исследований во-
просам. В контексте наших рассмотрений легко выделить классичес-
кий случай путем введения следующего понятия.

Определение. Будем говорить, что цикл γ ограничивает область
D, если индекс J(γ, a) определен и равен 1 для любой точки a ∈ D и
либо не определен, либо равен нулю для точек a 6∈ D.

Заметим, что если γ ограничивает D и D ∪ γ содержится в более
широкой области D0 , то γ ∼ 0(mod D0 ).

Теорема 3. Пусть цикл γ ограничивает область D и f — анали-
тическая на множестве D ∪ γ функция. Тогда
                                           Z
                                               f (z) dz = 0.
                                           γ


§ 5.   Интегральная формула Коши и некоторые ее следствия

Теорема 1. Пусть f — аналитическая в области D функция и γ —
цикл гомологичный нулю относительно области D. Тогда для любой
точки a ∈ D \ γ выполняется равенство
                                                1 Z f (z) dz
                             J(γ, a) · f (a) =               .                                         (1)
                                               2πi γ z − a

Доказательство. Поскольку D \ γ является открытым множеством,
то для достаточно малых r > 0 круг ∆ = {z : |z − a| ≤ r} содержится
в D \ γ. Легко видеть, что цикл γ − J(γ, a) · ∂∆ будет гомологичен
нулю относительно проколотой области D \ {a}. Заметим также, что
в проколотой области функция f (z)/(z − a) является аналитической,
и применяя теорему Коши, получим
                     1 Z f (z) dz              1 Z f (z) dz
                                  = J(γ, a) ·               .                                          (2)
                    2πi γ z − a               2πi ∂∆ z − a

Однако
 ¯                              ¯          ¯                          ¯              ¯                   ¯
 ¯                              ¯          ¯Z                         ¯              ¯
 ¯ 1 Z
 ¯          f (z) dz            ¯      1   ¯     f (z) − f (a)        ¯              ¯ f (z)   − f (a) ¯¯¯
 ¯
 ¯ 2πi
                     −   f (a)¯¯¯   =      ¯
                                           ¯
                                           ¯
                                                                 dz ¯¯¯   ≤r·   max ¯¯                   ¯
 ¯     ∂∆
             z−a                ¯     2π   ¯∂∆       z−a              ¯         z∈∂∆ ¯     z   −a ¯