Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

80 Глава IV . Изолированные особые точки и разложения в ряды
Простая замена переменной z = 1/ζ приводит его к обычному
степенному ряду
P
∞
n=0
b
n
ζ
n
, областью сходимости которого, как мы
знаем, является круг |ζ| < R, где R = 1/( lim
n→∞
n
q
|b
n
|). Следователь-
но, областью сходимости исходного ряда является внешность круга
|z| > 1/R, где его сумма представляет собой аналитическую функ-
цию. Если скомбинировать такой ряд с обычным степенным рядом,
то получим более общую форму степенного ряда:
P
∞
n=−∞
c
n
z
n
, или
P
∞
n=−∞
c
n
(z − a)
n
, областью сходимости которого (если она не пус-
та) является кольцо.
Теорема 1 (Лорана). Любую функцию f, голоморфную в кольце
K = {z : r < |z − a| < R},
можно представить как сумму сходящегося в K ряда
f(z) =
∞
X
n=−∞
c
n
(z − a)
n
, (1)
коэффициенты которого определяются по формуле:
c
n
=
1
2πi
Z
γ
ρ
f(ζ)dζ
(ζ − a)
n+1
, (2)
где γ
ρ
— положительно ориентированная окружность |ζ − a| =
ρ, r < ρ < R.
Доказательство. Заметим прежде всего, что интервалы в правой
части (2) не зависят от значения ρ ∈ (r, R). Действительно, если
ρ
0
, ρ
00
∈ (r, R), то γ
ρ
0
− γ
ρ
00
∼ 0(mod K) и по теореме Коши, приме-
ненной к функции f(z)/(z − a)
n+1
, n = 0, ±1, ±2, . . . , получаем
Z
γ
ρ
0
f(ζ) dζ
(ζ − a)
n+1
=
Z
γ
ρ
00
f(ζ) dζ
(ζ − a)
n+1
.
Пусть теперь r < r
0
< R
0
< R. Тогда цикл γ
R
0
−γ
r
0
ограничивает
кольцо
K
0
= {z : r
0
< |z − a| < R
0
}.
80 Глава IV .    Изолированные особые точки и разложения в ряды

     Простая замена переменной z = 1/ζ приводит его к обычному
                    P
степенному ряду ∞            n
                     n=0 bn ζ , областью сходимости
                                                  q
                                                     которого, как мы
знаем, является круг |ζ| < R, где R = 1/(n→∞   lim |bn |). Следователь-
                                                   n


но, областью сходимости исходного ряда является внешность круга
|z| > 1/R, где его сумма представляет собой аналитическую функ-
цию. Если скомбинировать такой ряд с обычным степенным рядом,
                                                       P
то получим более общую форму степенного ряда: ∞                   n
                                                         n=−∞ cn z , или
P∞               n
  n=−∞ cn (z − a) , областью сходимости которого (если она не пус-
та) является кольцо.

Теорема 1 (Лорана). Любую функцию f , голоморфную в кольце

                          K = {z : r < |z − a| < R},

можно представить как сумму сходящегося в K ряда
                                      ∞
                                      X
                           f (z) =          cn (z − a)n ,            (1)
                                     n=−∞

коэффициенты которого определяются по формуле:

                                  1 Z f (ζ)dζ
                            cn =                   ,                 (2)
                                 2πi γρ (ζ − a)n+1

где γρ — положительно ориентированная окружность |ζ − a| =
ρ, r < ρ < R.

Доказательство. Заметим прежде всего, что интервалы в правой
части (2) не зависят от значения ρ ∈ (r, R). Действительно, если
ρ0 , ρ00 ∈ (r, R), то γρ0 − γρ00 ∼ 0(mod K) и по теореме Коши, приме-
ненной к функции f (z)/(z − a)n+1 , n = 0, ±1, ±2, . . . , получаем
                     Z       f (ζ) dζ      Z     f (ζ) dζ
                                    n+1
                                        =               n+1
                                                            .
                    γρ0    (ζ − a)        γρ00 (ζ − a)


    Пусть теперь r < r0 < R0 < R. Тогда цикл γR0 − γr0 ограничивает
кольцо
                    K 0 = {z : r0 < |z − a| < R0 }.

Страницы