Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

88 Глава IV . Изолированные особые точки и разложения в ряды
В случае когда a — полюс, можно привести формулу для вычис-
ления вычета, которая не требует отыскания лорановского разложе-
ния. Пусть m ≥ 1 — порядок полюса. Тогда f имеет в проколотой
окрестности
˙
O
r
(a) разложение вида
f(z) = c
−m
(z − a)
−m
+ c
−m+1
(z − a)
−m+1
+ . . .
где c
−m
6= 0. Функция g(z) = (z − a)
m
f(z) будет иметь a устранимой
особой точкой, а c
−1
будет коэффициентом ее ряда Тейлора при (z −
a)
m−1
. Из формул для коэффициентов ряда Тейлора получаем
Res
a
f = c
−1
=
g
m−1
(a)
(m − 1)!
=
1
(m − 1)!
lim
z→a
d
(m−1)
dz
m−1
(z − a)
m
f(z)
.
Особенно просто эта формула выглядит при m = 1 :
Res
a
f = lim
z→a
(z − a)f(z).
Теорема 2. Пусть D — область, ограниченная циклом γ, и f —
голоморфная на D функция, исключая конечное число особых точек
a
1
, . . . , a
N
, расположенных в D. Тогда
1
2πi
Z
γ
f(z) dz =
N
X
k=1
Res
a
k
f.
Доказательство. Пусть ρ > 0 таково, что O
ρ
(a
k
) ⊂ D при всех
k = 1, . . . , N и O
ρ
(a
i
) ∩ O
ρ
(a
j
) = ∅ при i 6= j. Тогда цикл γ −
P
N
k=1
σ
k
,
где σ
k
= ∂O
ρ
(a
k
), будет гомологичным нулю относительно области
голоморфности функции f. Следовательно, по теореме Коши имеем:
1
2πi
Z
γ
f(z) dz −
1
2πi
N
X
k=1
Z
σ
k
f(z) dz = 0,
что эквивалентно доказываемому равенству.
2
Как уже отмечалось выше, в случае голоморфности f во внешнос-
ти некоторого круга |z| > R бесконечно удаленную точку естественно
причислить к особым. Определим вычет в бесконечности посредством
равенства:
Res
∞
f =
1
2πi
Z
−γ
ρ
f(z) dz,
88 Глава IV .       Изолированные особые точки и разложения в ряды

    В случае когда a — полюс, можно привести формулу для вычис-
ления вычета, которая не требует отыскания лорановского разложе-
ния. Пусть m ≥ 1 — порядок полюса. Тогда f имеет в проколотой
окрестности Ȯr (a) разложение вида
              f (z) = c−m (z − a)−m + c−m+1 (z − a)−m+1 + . . .
где c−m 6= 0. Функция g(z) = (z − a)m f (z) будет иметь a устранимой
особой точкой, а c−1 будет коэффициентом ее ряда Тейлора при (z −
a)m−1 . Из формул для коэффициентов ряда Тейлора получаем
                                                                      
                      g m−1 (a)      1           d(m−1)
      Res
       a
          f = c−1   =           =          lim
                                           z→a
                                               
                                                    m−1
                                                        (z − a)m f (z) .
                      (m − 1)!    (m − 1)!       dz
    Особенно просто эта формула выглядит при m = 1 :
                           Res
                            a
                               f = z→a
                                   lim(z − a)f (z).
Теорема 2. Пусть D — область, ограниченная циклом γ, и f —
голоморфная на D функция, исключая конечное число особых точек
a1 , . . . , aN , расположенных в D. Тогда
                           1 Z             XN
                                f (z) dz =     Res
                                                ak
                                                   f.
                          2πi γ            k=1

Доказательство. Пусть ρ > 0 таково, что Oρ (ak ) ⊂ D при всех
                                                                     P
k = 1, . . . , N и Oρ (ai ) ∩ Oρ (aj ) = ∅ при i 6= j. Тогда цикл γ − Nk=1 σk ,
где σk = ∂Oρ (ak ), будет гомологичным нулю относительно области
голоморфности функции f . Следовательно, по теореме Коши имеем:
                     1 Z              1 X N Z
                          f (z) dz −            f (z) dz = 0,
                    2πi γ            2πi k=1 σk
что эквивалентно доказываемому равенству.
                                                                   2
    Как уже отмечалось выше, в случае голоморфности f во внешнос-
ти некоторого круга |z| > R бесконечно удаленную точку естественно
причислить к особым. Определим вычет в бесконечности посредством
равенства:
                                1 Z
                        Res
                         ∞
                            f=         f (z) dz,
                               2πi −γρ

Страницы